オイラー平均方程式系

ある物理量$A$の帯状(東西)平均を $\overline{A}$で表すことにすると

$$\overline{A}(\phi, p, t) = \Dinv{2\pi}\int_0^{2\pi} A(\lambda, \phi, p, t) \Dd \lambda$$

と書ける. 他の独立変数( $\phi, p, t$)については固定して平均するので, これはオイラー平均の一例である. また帯状平均からのずれを$A'$とすると

$$A' = A - \overline{A}$$

である. このとき $\overline{A'}=0$, $\partial \overline{A}/\partial\lambda = 0$となることに注意. (2.1)の帯状平均を考える. (2.1)中の各量を帯状平均成分とずれ成分に分けて書くと

となる. 上記を変形して, 左辺に平均量と平均量同士の積の項を, 右辺にそれ以外の項をまとめると

と書ける. (2.3)をオイラー平均すると,

となる. ここで(2.3.4), (2.4.4) から東西平均からのずれに関する連続の式

$$\Dinv{a\cos\phi}\left[\DP{u'}{\lambda} + \DP{}{\phi}(v'\cos\phi)\right] + \DP{\omega'}{p} = 0$$ (2.0.5)

が得られる. ここで$u' \times$(2.5)のオイラー平均を(2.4.1)に足し加えると,

$$\DP{\overline{u}}{t} + \Dinv{a}\overline{v}\DP{\overline{u}}{\phi} + \overline{\omega... ...rline{v} - \frac{\tan\phi}{a}\overline{u}\overline{v} - \overline{X} =\notag$$

$$- \Dinv{a\cos\phi}\overline{u'\DP{u'}{\lambda}} - \Dinv{a}\overline{v'\DP{u'}{\phi}} - \overline{\omega'\DP{u'}{p}}\notag$$

$$- \Dinv{a\cos\phi}\overline{u'\DP{u'}{\lambda}} - \Dinv{a}\overl... ...}{\phi}} - \overline{u'\DP{\omega'}{p}} + \frac{2\tan\phi}{a}\overline{u'v'}.$$

このとき

$$- \Dinv{a\cos\phi}\overline{u'\DP{u'}{\lambda}} - \Dinv{a\cos\phi}\overline{u'\DP{u'}{\lambda}} = - \Dinv{a\cos\phi}\overline{\DP{(u')^2}{\lambda}}$$

$$= 0,$$

$$- \Dinv{a}\overline{v'\DP{u'}{\phi}} - \Dinv{a}\overline{u'\DP{v'}{\phi}} + \frac{2\tan\phi}{a}\overline{u'v'} = -\Dinv{a\cos^2\phi}\DP{}{\phi}(\overline{v'u'}\cos^2\phi)$$

$$- \overline{\omega'\DP{u'}{p}} - \overline{u'\DP{\omega'}{p}} = -\DP{}{p}(\overline{\omega'u'})$$

を用いると,

$$\DP{\overline{u}}{t} + \Dinv{a}\overline{v}\DP{\overline{u}}{\ph... ...ine{v} - \frac{\tan\phi}{a}\overline{u}\overline{v} - \overline{X} = \notag$$

$$\hspace{5em} -\Dinv{a\cos^2\phi}\DP{}{\phi}(\overline{v'u'}\cos^2\phi) -\DP{}{p}(\overline{\omega'u'})$$

と書くことができる. (2.4.2), (2.4.5)についても同様の手順で変形することが出来, まとめると,

$$\begin{itemize} <tex2html_comment_mark> \item 運動方程式 <tex2h... ...'}\cos\phi) - \DP{}{p}(\overline{\omega'\theta'}). \end{align} \end{itemize}$$

となる . 以降, (2.6)をオイラー平均方程式と呼ぶ.