% 表題 雲密度の計算方法
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% 履歴 2001/06/03 杉山耕一朗

\chapter{雲密度の計算方法}

静水圧平衡にある大気での雲密度は Weidenschilling and Lewis (1973) の方法
によって導くことができる.  静水圧平衡にある大気でのある高度 $J$ において
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\begin{eqnarray}
M^{\rm J} = \frac{p^{\rm J}}{g}
\Deqlab{13.1}
\end{eqnarray}
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が成り立つ. ここで $M^{\rm J}$ は高度 $J$ より上における大気の単位面積当
たりの質量である. 物質 k の高度 J より上での単位面積当たりの
大気の質量は
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\begin{eqnarray}
m^{\rm J}_{\rm k} \cdot M^{\rm J}
\Deqlab{13.2}
\end{eqnarray}
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である. ここで $m^{J}_{k}$ は大気の質量分率である. 
それゆえ物質 k が凝縮する際, 高度 I から J の変化幅 $dz$ における
平均雲密度 $\bar{D}$ は, 
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\begin{eqnarray}
\bar{D} = \frac{(m^{\rm I}_{\rm k}- m^{\rm I}_{\rm k}) \bar{M}}{dz}
\Deqlab{13.3} 
\end{eqnarray}
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である. ここで $\bar{M}$ は考えている領域での単位面積当たりの
平均質量である. \Deqref{13.4}式はモル分率と圧力の項によって
書き換えることができる. 
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\begin{eqnarray}
D = \frac{m_{\rm k} (X_{\rm k}^{\rm I} - X_{\rm k}^{\rm J}) \bar{p}}
{\bar{m}g dz} .
\Deqlab{13.4}
\end{eqnarray}
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但し $\bar{m}$ は大気の平均分子量, $m_{\rm k}$ は物質 $k$ の分子量
である. 分子量の単位は kg mol$^{-1}$ に換算する必要がある. 


さらに高度の変化 $dz$ を圧力変化 $dp$ で書き換える. 静水圧平衡の式と理想
気体の状態方程式を用いると, 
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\begin{eqnarray}
dp 
  &=& - \rho g dz, \nonumber \\
  &=& - \frac{\bar{m} p}{R T} g dz, \nonumber \\
dz 
  &=& - \frac{R T g}{\bar{m} p}dp,
\Deqlab{13.5}
\end{eqnarray}
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である. \Deqref{13.4} 式に \Deqref{13.5} 式を代入することによって, 
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\begin{eqnarray}
D = \frac{m_{\rm k} (X_{\rm k}^{\rm I} - X_{\rm k}^{\rm J}) \bar{p}^2}
         {R T dp} .
\Deqlab{13.6}
\end{eqnarray}
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が求まる. 
もし 1 つ以上の物質が凝縮して雲を作る場合
(NH${}_{4}$SH や アンモニア水溶液), 
\Deqref{13.6}式の右辺は凝縮する物質を足し合わせたものになる.