計算例: 2 次中心差分

次に 2 次の中心差分スキームを用いて計算を行なった. スキームは,

$$\psi _{i,j}^{n+1} = \psi _{i,j}^{n} - \{F_{x}(\psi _{i,j}^{n},\psi _{i+1,j}^{n},u_{i+... ...2},j}^{n}) - F_{x}(\psi _{i-1,j}^{n},\psi _{i,j}^{n},u_{i-\frac{1}{2},j}^{n})\}$$

$$- \{F_{y}(\psi _{i,j}^{n},\psi _{i,j+1}^{n},v_{i,j+\frac{1}{2}}^{n}) - F_{y}(\psi _{i,j-1}^{n},\psi _{i,j}^{n},v_{i,j-\frac{1}{2}}^{n})\}.$$ (31)

ただしここでの $F_{x}, F_{y}$ は

$$F_{x}(\psi _{i,j}^{n},\psi _{i+1,j}^{n},u_{i+\frac{1}{2},j}^{n}) = u_{i+\frac{1}{2},j}^{n}(\psi _{i,j}^{n} + \psi _{i+1,j}^{n}) \frac{\Delta t}{\Delta x},$$ (32)

$$F_{y}(\psi _{i.j}^{n},\psi _{i,j+1}^{n},v_{i,j+\frac{1}{2}}^{n}) = v_{i,j+\frac{1}{2}}^{n}(\psi _{i,j}^{n} + \psi _{i,j+1}^{n}) \frac{\Delta t}{\Delta y},$$ (33)

である. 時間方向には同様に修正オイラー法を用いて計算した. ただし時間 格子間隔を $\Delta t=0.1$ として計算すると計算不安定を起こしてしまっ たので, ここでは $\Delta t=0.05$ とした. また壁での波の反射を抑える ため 壁際の 1 グリッドでは $\psi$ の 1 次に比例した減衰(減衰係数は 5 )を加えてある.

1 回転後(1256ステップ)と 3 回転後(3768ステップ)後の結果 をFig.4とFig.5にそれぞれ示す. 中心差分では初期 分布の形状はそれなりに維持されるが, 進行方向の後側に波が発生しそれに 伴い負の値が生じていることがわかる.

図 4: 中心差分による計算. 1 回転(1256ステップ)後の結果.
図 5: 中心差分による計算. 3 回転(3768ステップ)後の結果.