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: 1 次元 MPDATA : 1 次元 MPDATA : 上流差分スキームの誤差   目次

時間方向の差分と誤差

さらに(6)の時間微分を前進差分で差分する.


\begin{displaymath}
\frac{\psi _{i}^{n+1}-\psi _{i}^{n}}{\Delta t}=
-\left.\DP...
...\DP{\psi }{x}\right)
\right\vert _{i}^{n} +O(\Delta x^{2}) .
\end{displaymath} (7)

この場合の誤差を評価する. 左辺の $\psi _{i}^{n+1}$$\psi _{i}^{n}$ の周りのテーラー展開で表現する.


\begin{displaymath}
\psi _{i}^{n+1}=\psi _{i}^{n} + \left.\DP{\psi }{t}\right\v...
...}\right\vert _{i}^{n}
(\Delta t)^{2}
+ \cdot \cdot \cdot .
\end{displaymath}

これの 2 次までをとって(6)に代入する. ただし右辺第 3 項の $t$ の 2 階微分は(2)式を用いて空間微分で 置き換える. すなわち,


\begin{displaymath}
\DP[2]{\psi }{t}
= - \DP{}{x}\left[ u \left( -\DP{}{x}(u\...
...\psi ) \right]
= \DP{}{x}\left[ u^{2} \DP{\psi }{x} \right]
\end{displaymath}

とする. ただし $u$ は定常かつ非発散としている. これより(7)式は以下のようになる.


\begin{displaymath}
\left.\DP{\psi }{t}\right\vert _{i}^{n}
= -\left.\DP{}{x}(...
...{x}\right]\right\vert _{i}^{n} +O(\Delta x^{2},\Delta t^{2}).
\end{displaymath} (8)

よって(2)式を時間, 空間方向にそれぞれ 1 次の正確度を持つ 上流・前進差分スキームで差分表現したものは, 移流拡散方程式


\begin{displaymath}
\DP{\psi }{t} + \DP{}{x}(u\psi ) =
\DP{}{x}\left(K_{impl}\DP{\psi }{x}\right),
\end{displaymath}

$(K_{impl} = 0.5[\vert u\vert\Delta x-\Delta t u^{2}])$を 2 次の正確度で近似した ものであることがわかる.



Odaka Masatsugu 平成18年2月10日