<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">% 表題   DCPAM3 第2部 離散化 球面調和函数
%
% 履歴
\Drireki{91/12/09 保坂征宏}
\Drireki{2005/04/04 石渡正樹}
\Dchapterhead
%

\section{球面調和函数}

ここでは連続系での球面調和函数を定義し, 
スペクトル計算の理解に必要な性質を挙げ, 証明する. 
\vspace{5mm}

まず球面調和函数を定義し, 
次いで球面調和函数が完全直交系をなすことを主張する. 
このことにより, 
球面上に分布するあらゆる連続関数が
球面調和函数の重ね合わせで一意的に表されることになる. 
\vspace{5mm}

球面調和函数は2次元ラプラシアンに関する固有関数であり, 
このために全波数という概念が生まれる. 
参考までにこのことも記しておく. 
\vspace{5mm}

さらに, 球面調和函数を空間微分した結果も書いておく. 

\begin{enumerate}
  \item 定義と性質（球面調和函数, Legendre函数, Legendre陪函数）
  \item 空間微分
  \item 全波数の概念
\end{enumerate}

また, イメージをつかむために, 
ルジャンドル(陪)関数のグラフを示す. 


\subsection{定義と性質}

ここでは, 
岩波公式集\footnotemark の 
      Legendre函数・陪函数 $\tilde{P}_n^m$ , 
       \footnotetext{
           森口, 宇田川, 一松編「数学公式III」,1960 \ を指す. }
2 で規格化したLegendre函数・陪函数 $P_n^m$, 
$4 \pi$ で規格化した球面調和函数 $Y_n^m$ 
の順に定義する. 
さらにそれらの性質として, 
従う微分方程式, 漸下式, 完全規格直交性について述べる. 

   
\subsubsection{岩波公式集の Legendre函数・陪函数$\tilde{P}_n^m$}
   
\begin{itemize}
     \item 定義
   
       岩波公式集によると
       Legendre函数・陪函数$\tilde{P}_n^m(\mu)$ は
       $-1 \le \mu \le 1$ において次式で定義される
       （Rodrigues の公式）. 
   
       \begin{eqnarray}
         &amp; &amp;\tilde{P}_n^m
              \equiv \frac{ (1-\mu^2)^{\frac{|m|}{2}} }{2^n n!}
                        \DD[n+|m|]{}{\mu} (\mu^2-1)^n   
       \end{eqnarray}
       
       ただし, $m,n$ は $0 \le |m| \le n$ を満たす整数である.
       Legendre函数 $\tilde{P}_n^0$ を $\tilde{P}_n$ とも書く. 
       
     \item Legendre 函数・陪函数の満たす方程式
   
       $\tilde{P}^m_n(\mu)$ は次の方程式を満たす. 
   
       \begin{eqnarray}
          \DD{}{\mu} 
            \left\{ (1-\mu^2) \DD{}{\mu} \tilde{P}_n^m \right\}
            + \left\{ n(n+1) - \frac{m^2}{1-\mu^2} \right\} 
                                           \tilde{P}_n^m  = 0
       \end{eqnarray}
   
       ただし, $m,n$ は $0 \le |m| \le n$ を満たす整数である.
   
     \item Legendre 函数・陪函数の従う漸化式
   
       $\tilde{P}_n^m(\mu)$ は次の漸化式に従う. 
       \begin{eqnarray}
       &amp; &amp;  (n-|m|+1) \tilde{P}_{n+1}^m
           - (2n+1) \mu \tilde{P}_n^m 
           +(n+|m|) \tilde{P}_{n-1}^m        = 0  
       \end{eqnarray}
       ただし, $m,n$ は $0\le |m| \le n-1$, または $m=n=0$ 
       を満たす整数である. 
       \vspace{5mm}
     
       さらに, 次の関係式が成り立つ. 
       \begin{eqnarray}
         &amp; &amp; (1-\mu^2)  \DD{}{\mu}\tilde{P}_{n}^{m} 
             =  (n+|m|) \tilde{P}_{n-1}^m     
               -  n \mu \tilde{P}_n^m
       \end{eqnarray}
       ただし, $m,n$ は $0\le |m| \le n-1$ を満たす整数である. 
     
     \item 完全規格直交性
   
       $\tilde{P}_n^m(\mu) \ (n=|m|,|m+1, \cdots)$ は
       次の直交関係を満たす. 
       \begin{eqnarray}
         \int_{-1}^1 \tilde{P}_n^m(\mu) \tilde{P}_{n'}^m (\mu) d \mu 
           =  \frac{2}{2n+1} \frac{(n+|m|)!}{(n-|m|)!}  \delta_{nn'}
       \end{eqnarray}
       ただし, $m,n,n'$  は 
       $0\le |m| \le n,n'$ を満たす整数である. 
       \vspace{5mm}
   
       $-1 \le \mu \le 1$ で定義される連続関数 $A(\mu)$ は
       $ \{ \tilde{P}_n^m | n=|m|,|m+1|,\cdots \}$ を用いて
       \begin{eqnarray}
        &amp; &amp; A(\mu) = \sum_{n=|m|}^{\infty} 
                       \tilde{A}_n^m \tilde{P}_n^m(\mu),       \\
        &amp; &amp; \tilde{A}_n^m =  \frac{2n+1}{2} \frac{(n-|m|)!}{(n+|m|)!} 
                    \int_{-1}^1  A(\mu) \tilde{P}_n^m(\mu) d \mu
       \end{eqnarray}
       と表される. 
   
     \end{itemize}

   \subsubsection{2 で規格化した Legendre函数・陪函数$P_n^m$}
   
   \begin{itemize}
     \item 定義
   
        2 で規格化した
        Legendre函数・陪函数$P_n^m(\mu)$ は
        $-1 \le \mu \le 1$ において次式で定義される. 
   
       \begin{eqnarray}
          &amp; &amp;P_n^m
             \equiv \sqrt{ \frac{(2n+1)(n-|m|)!}{(n+|m|)!} } 
                     \tilde{P}_n^m   
             = \sqrt{ \frac{(2n+1)(n-|m|)!}{(n+|m|)!} }
                         \frac{ (1-\mu^2)^{\frac{|m|}{2}} }{2^n n!}
                         \DD[n+|m|]{}{\mu} (\mu^2-1)^n   ,           \\
       \end{eqnarray}
       ただし, $m,n$ は $0 \le |m| \le n$ を満たす整数である. 
       Legendre函数 $P_n^0$ を $P_n$ とも書く. 
   
     \item Legendre函数・陪函数の満たす方程式
   
        $P^m_n(\mu)$ は, 次の方程式を満たす. 
        \begin{eqnarray}
           \DD{}{\mu} \left\{ (1-\mu^2) \DD{}{\mu} P_n^m \right\}
             + \left\{ n(n+1) - \frac{m^2}{1-\mu^2} \right\} P_n^m  = 0
        \end{eqnarray}
        ただし, $m,n$ は $0 \le |m| \le n$ を満たす整数である. 

  
     \item Legendre函数・陪函数の従う漸化式
   
        $P_n^m(\mu)$ は, 次の漸化式に従う. 
        \begin{eqnarray}
          &amp; &amp; (n-|m|+1) 
             \sqrt{ \frac{1}{2n+3} \frac{(n+1+|m|)!}{(n+1-|m|)!} }
             P_{n+1}^m 
            - (2n+1) 
             \sqrt{ \frac{1}{2n+1} \frac{(n+|m|)!}{(n-|m|)!} }
            \mu P_n^m                                        \\
         &amp; &amp; \hspace*{2cm}
            +(n+|m|) 
             \sqrt{ \frac{1}{2n-1} \frac{(n-1+|m|)!}{(n-1-|m|)!} }
            P_{n-1}^m        = 0                              \\
         &amp; &amp;∴ P_{n+1}^m
             = \sqrt{ \frac{(2n+1)(2n+3)}{(n-|m|+1)(n+|m|+1)} } 
               \mu P_n^m                                           \\
         &amp; &amp; \hspace*{2.5cm}
             - \sqrt{ \frac{(2n+1)(2n+3)}{(n-|m|+1)(n+|m|+1)} }
               \sqrt{ \frac{(n-|m|)(n+|m|)}{(2n+1)(2n-1)} } P_{n-1}^m
        \end{eqnarray}
        ただし, $m,n$ は $0\le |m| \le n-1$, または $m=n=0$ 
        を満たす整数である. 
        \vspace{5mm}

        さらに次の関係式が成り立つ. 
        \begin{eqnarray}
        &amp; &amp;   (1-\mu^2)  \DD{}{\mu} P_n^m  
            = (n+|m|) 
              \sqrt{ \frac{(n-|m|)(2n+1)}{(n+|m|)(2n-1)} } P_{n-1}^m 
              - n \mu P_n^m 
        \end{eqnarray}
        ただし, $m,n$ は $0 \le |m| \le n-1$ を満たす整数である. 

     \item 完全規格直交性
   
        $P_n^m(\mu) \ (n=|m|,|m+1, \cdots)$ は次の直交関係を満たす. 
        \begin{eqnarray}
          \int_{-1}^1 P_n^m(\mu) P_{n'}^m (\mu) d \mu 
            =  2 \delta_{nn'}
        \end{eqnarray}
        ただし, $m,n,n'$ は 
        $ 0\le |m| \le n, n' $
        を満たす整数である. 
        \vspace{5mm}
   
        $-1 \le \mu \le 1$ で定義される連続関数 $A(\mu)$ は
        $ \{ P_n^m | n=|m|,|m+1|,\cdots \}$ を用いて
        \begin{eqnarray}
         &amp; &amp; A(\mu) = \sum_{n=|m|}^{\infty} 
                      \tilde{A}_n^m P_n^m(\mu),\\
         &amp; &amp; \tilde{A}_n^m =  \frac{1}{2}
                     \int_{-1}^1  A(\mu) P_n^m(\mu) d \mu
        \end{eqnarray}
        と表される. 
     \end{itemize}

   \subsubsection{球面調和函数$Y_n^m$}
   
   \begin{itemize}
     \item 定義
   
       球面調和函数 $Y_n^m(\lambda,\phi)$ は
       Legendre函数$P_n^m(\sin \phi)$, 
       三角関数\footnotemark $\exp(i m \lambda)$ を用いて
           \footnotetext{
                 $\exp(im\lambda)$ は
                 $\int_0^{2 \pi} \exp(im\lambda) \exp(-im'\lambda) 
                      d \lambda = 2 \pi \delta_{mm'}$ 
                 を満たす.
                 ただし, $m,m'$ は整数である.}
       次のように定義される. 
   
       \begin{eqnarray}
         &amp; &amp; Y_n^m(\lambda, \phi) 
              \equiv P_n^m(\sin \phi) \exp(i m \lambda) 
       \end{eqnarray}
   
       ただし, $m,n$ は $0 \le |m| \le n$ を満たす整数である.

   
     \item 球面調和函数の満たす方程式
   
       $Y^m_n(\lambda, \phi)$ は次の方程式を満たす. 
       \begin{eqnarray}
         &amp; &amp;   \left[ \frac{1}{\cos \phi} 
                      \DP{}{\phi} 
                      \left( \cos \phi \DP{}{\phi} \right)
                      + \frac{1}{\cos^2 \phi} \DP[2]{}{\lambda} 
                + n(n+1) \right] Y_n^m =0                      
       \end{eqnarray}
       すなわち, 
       \begin{eqnarray}
                  \left[ 
                   \DP{}{\mu} \left( (1-\mu^2) \DP{}{\mu} \right)
                   + \frac{1}{1-\mu^2} \DP[2]{}{\lambda} 
                   + n(n+1) 
               \right] Y_n^m =0   \\
       \end{eqnarray}
       の解である. 
       ただし, $m,n$ は $0 \le |m| \le n$ を満たす整数である.
       
  
     \item 完全規格直交性
   
       $Y_n^m$ は次の直交関係を満たす. 
       \begin{eqnarray}
         \int_{-1}^1 Y_n^m(\lambda, \phi) 
                     Y_{n'}^{m'*} (\lambda, \phi) 
         d (\sin \phi) d \lambda 
           =  4 \pi \delta_{mm'} \delta_{nn'}
       \end{eqnarray}
       ただし, $m,m',n,n'$ は 
       $0 \le |m| \le n$ と
       $0 \le |m'| \le n'$ とを満たす整数である.
       \vspace{5mm}
   
       球面上で定義される連続関数 $A(\lambda,\phi)$ は
       $ \{ Y_n^m | m=0,1,2,\cdots, \  n=|m|,|m+1|,\cdots \}$ を用いて
       \begin{eqnarray}
        &amp; &amp; A(\lambda, \phi) 
           = \sum_{m=0}^{\infty} \sum_{n=|m|}^{\infty} 
                     \tilde{A}_n^m Y_n^m(\lambda,\phi)         ,\\
        &amp; &amp; \tilde{A}_n^m =  \frac{1}{4 \pi}
                    \int_{-1}^1  d (\sin \phi) 
                    \int_0^{2 \pi} d \lambda A(\lambda, \phi)
                    Y_n^{m*}(\lambda, \phi)
       \end{eqnarray}
       と表される. 

   \end{itemize}
   
\subsection{球面調和函数の空間微分}

ここでは, 球面調和函数 $Y_n^m(\phi,\lambda)$ の
\begin{itemize}
  \item x微分
  \item y微分
  \item 2次元ラプラシアン
\end{itemize}
の計算をする. 

\subsubsection{x微分}

   \begin{eqnarray}
      \frac{1}{r \cos \phi} \DP{Y_n^m}{\lambda} 
     =  \frac{1}{r \cos \phi} 
             \DP{}{\lambda} 
            \left( P_n^m (\sin \phi) \exp(im \lambda) \right)
     =  \frac{im}{r \cos \phi}
            P_n^m (\sin \phi) \exp(im \lambda)         
   \end{eqnarray}
   
\subsubsection{y微分}

   \begin{eqnarray}
      \frac{1}{r} \DP{Y_n^m}{\phi}
      =     \frac{1}{r} 
            \DP{}{\phi} 
            \left( P_n^m (\sin \phi) \exp(im \lambda) \right)
      =  \frac{\sqrt{1-\mu^2} }{r}
            \DD{}{\mu} P_n^{m} (\mu) \exp(im \lambda) 
   \end{eqnarray}

\subsubsection{2次元ラプラシアン}

   \begin{eqnarray}
     \nabla_H^2
     Y_n^m
     &amp;\equiv&amp; \frac{1}{r^2}
           \left[ \DP{}{\mu} \left( (1-\mu^2) \DP{}{\mu} \right)
                  + \frac{1}{1-\mu^2} \DP[2]{}{\lambda} 
           \right] Y_n^m \\
     &amp;=&amp; \frac{1}{r^2} 
           \left[ \frac{1}{\cos \phi} 
                  \DP{}{\phi} \left( \cos \phi \DP{}{\phi} \right)
                  + \frac{1}{\cos^2 \phi} \DP[2]{}{\lambda} 
           \right] Y_n^m \\
     &amp;=&amp; - \frac{n(n+1)}{r^2} Y_n^m 
   \end{eqnarray}
   

   
\subsection{コメント --- 全波数について}   
   
    球面調和函数
    $Y^m_n(\lambda,\phi)$ において $n$ のことを全波数と呼ぶ. 
    \vspace{5mm}
    
    全波数には, 
    座標系の回転に関して不変である, という特徴がある. 
    すなわち, 任意の $Y_n^m(\lambda, \phi)$ は
    回転して得られる座標系 $(\lambda', \phi')$ における
    全波数 $n$ の球面調和函数 
    $\{ Y_n^m(\lambda', \phi') | m=-n,-n+1, \cdots, n \} $
    の和で表現できる ：
    \begin{eqnarray}
         Y^m_n(\lambda, \phi)
        = \sum_{m'=-n}^{n} A_n^{m'} Y^{m'*}_n(\lambda',\phi')
    \end{eqnarray}
    のである\footnotemark . 
        \footnotetext{
         この特徴を
         言い替えれば, 
         全波数 $n$ の球面調和函数の重ね合わせで表現できる分布関数は
         座標系を回転させた系においても
         全波数 $n$ の球面調和函数の重ね合わせで表現できることになる. 
                 }
    この特徴は, 
    球面調和函数が2次元ラプラシアンの
    固有値であることによっている\footnotemark . 
      \footnotetext{
         $\nabla_H^2 \equiv 
           \frac{1}{r^2}
           \left[ \DP{}{\phi} \left( \cos \phi \DP{}{\phi} \right)
                  + \frac{1}{\cos^2 \phi} \DP[2]{}{\lambda} 
           \right]    
        $ の, 
        固有値を $- \frac{n(n+1)}{r^2}$ とする固有関数であることと, 
        スカラー演算子 $\nabla_H^2$ が
        座標系の回転に関して不変な演算子であることとに起因する. 
        \vspace{5mm}
    
        すなわち, 
        $\nabla_H^2 Y^m_n(\lambda, \phi)
        =- \frac{n(n+1)}{r^2} Y^m_n(\lambda,\phi)$ 
        より, 
        球面調和函数 $Y_n^m \exp(im\lambda)$ は
        固有値を $-\frac{n(n+1)}{r^2}$ とする
        $\nabla_H^2$ の固有関数である. 
        $\{Y_n^m |n=0,1,2,\cdots,\  m= -n, -n+1,\cdots,n \}$ 
        の完全直交性より, 
        $\{Y_n^m  | m= -n, -n+1,\cdots,n \}$ は 
        $\nabla^2_H f = -\frac{n(n+1)}{r^2} f$ の
        解空間を張っている基底である. 
   
        座標系を回転させて,  
        新たな座標系での球面調和函数 $Y_n^m(\lambda',\phi')$ の和の形で
        前の座標系での球面調和函数 $Y_n^m(\lambda,\phi)$ を
        表現することを考えよう. 
   
        絶対系で見て同じ位置の値を比べると, 
        2次元ラプラシアンを演算した値は不変なので, 
        前の座標系での球面調和函数 $Y_n^m(\lambda',\phi')$ は
        新たな座標系においても
        $\nabla^{'2}_H Y_n^m = -\frac{n(n+1)}{r^2} Y_n^m $ の解である. 
        新たな座標系の球面調和函数の集合
        $\{ Y_n^m(\lambda', \phi') |m=-n,-n+1,\cdots,n \}$ も
        $\nabla^{'2}_H Y_n^m = -\frac{n(n+1)}{r^2} Y_n^m$ の
        解空間の基底である. 
        したがって, 前の座標系の球面調和函数は
        新たな座標系の球面調和函数の和の形で書ける. 
        }
        

\newpage

\subsection{グラフ}  
  
   $P_n^m(\mu)$ の概形をつかむために, 2で規格化した $P_n,P_n^1,P_n^2$ 
   \footnote{ (2005/4/4 石渡) 関数形も書いておきたい.
                              グラフは自分で描きたい.}
   のグラフを示す.
   
   \begin{center}
   \Depsf[10cm]{zahyou/lg1.ps}

     {\bf 岩波公式集の Legendre函数 $\tilde{P}_n$ のグラフ} 
       （森口, 宇田川, 一松, 1960）
   \end{center}
   

   \begin{center}
     \Depsf[][7cm]{zahyou/lg2.ps}

     {\bf Legendre函数 
            $ \overline{P_n^1} = P_n^1/\sqrt{2},
              \overline{P_n^2} = P_n^2/\sqrt{2}$ 
            のグラフ} 
       （森口, 宇田川, 一松, 1960）
   \end{center}

</pre></body></html>