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: B. 乱流パラメタリゼーション : 湿潤大気における 2 次元非静力学モデルの定式化 : 2. 参考文献


A. 準圧縮方程式系の導出

A.1 温位 $\theta $, エクスナー関数 $\Pi $, 風速 $u, v, w$ を予報変数とする場合 の方程式系

地球大気における湿潤対流の定式化同様, 大気の乾燥成分と湿潤成分の 分子量の差を密度の式には考慮するが, 熱の式には考慮しないような 系を考える. またガスは理想気体であるとみなす. このような系では温位 $\theta $ が非凝結時の保存量として使える.

A.1.1 元となる方程式系

3 次元大気の状態を 気温 $T$, 圧力 $p$, 風速 $u, v, w$, 密度 $\rho$ で表現する場合, 一般的な圧縮性流体の方程式系は以下のようになる A.1.

運動方程式
 
    $\displaystyle \DD{u}{t} = - \Dinv{\rho}\DP{p}{x} + D_u$ (A.1)
    $\displaystyle \DD{v}{t} = - \Dinv{\rho}\DP{p}{y} + D_v$ (A.2)
    $\displaystyle \DD{w}{t} = - \Dinv{\rho}\DP{p}{z} -g + D_w$ (A.3)

熱力学第一法則
 
$\displaystyle c_{pt} \DD{T}{t} - \Dinv{\rho} \DD{p}{t}
= c_{pt} Q$     (A.4)

状態方程式
 
$\displaystyle p_d$ $\textstyle =$ $\displaystyle \rho_d R_d T,$ (A.5)
$\displaystyle p_v$ $\textstyle =$ $\displaystyle \rho_v R_v T.$ (A.6)

密度の時間発展方程式
 
$\displaystyle \DP{\rho_d}{t} + \DP{}{x_j} (\rho_d u_j)$ $\textstyle =$ $\displaystyle D_{\rho_d},$ (A.7)
$\displaystyle \DP{\rho_v}{t} + \DP{}{x_j} (\rho_v u_j)$ $\textstyle =$ $\displaystyle M_{src}(\rho_v) +
D_{\rho_v},$ (A.8)
$\displaystyle \DP{\rho_c}{t} + \DP{}{x_j} (\rho_c u_j)$ $\textstyle =$ $\displaystyle M_{src}(\rho_c) +
D_{\rho_c},$ (A.9)
$\displaystyle \DP{\rho_r}{t} + \DP{}{x_j} (\rho_r u_j)$ $\textstyle =$ $\displaystyle M_{src}(\rho_r) +
M_{fall}(\rho_r) + D_{\rho_r}$ (A.10)

ここで $c_{pt}$ は凝結物も含んだ単位質量の気塊の定圧比熱, $Q$ は非断熱加熱, $q_{v}$ は比湿, $q_{c}$ は雲水比湿, $q_{r}$ は雨水比湿である. $q_{v}, q_{r}, q_{c}$ は, 凝結成分の数だけ存在する. $D_{\ast}$, $M_{src}$, $M_{fall}$ はそれぞれ 乱流拡散項, 生成消滅項, 落下項を意味する. 以下では, 温位 $\theta $, エクスナー関数 $\Pi $, 風速 $u, v, w$ を予報変数と する場合の基礎方程式系を導出する.

A.1.2 状態方程式の書き換え

(A.5), (A.6) より

$\displaystyle p$ $\textstyle =$ $\displaystyle p_d + \sum p_v$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \left( \rho_d R_d + \sum \rho_v R_v \right) T$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \left( \rho_d + \sum \rho_v \right)
\frac{\rho_d R_d + \sum \rho_v R_v}{\rho_d + \sum \rho_v} T.$ (A.11)

ここで
$\displaystyle \langle R \rangle$ $\textstyle \equiv$ $\displaystyle \frac{\rho_d R_d + \sum \rho_v R_v}{\rho_d + \sum \rho_v }$ (A.12)
$\displaystyle \rho_g$ $\textstyle \equiv$ $\displaystyle \rho_d + \sum \rho_v$ (A.13)

と置くと,
$\displaystyle p = \rho_g \langle R \rangle T$     (A.14)

となる. 但し $R_d$, $R_v$ はそれぞれ非凝結性ガスの気体定数, 凝結性ガスの気体定数 である. $\langle R \rangle$ は気体定数の密度の重みつき平均であり, 本文書では平均 気体定数と呼ぶことにする.

普遍気体定数を $R_{\ast}$ として,

$\displaystyle \langle M \rangle$ $\textstyle \equiv$ $\displaystyle \frac{R_{\ast}}{\langle R \rangle}
=
\frac{\rho_d + \sum \rho_v}{\rho_d / M_d + \sum \rho_v / M_v}$ (A.15)

と置く. 但し $M_d$, $M_v$ はそれぞれ非凝結性ガスの分子量, 凝結性ガスの分子量を表 す. また $\langle M \rangle$ を平均分子量と呼ぶことにする. $\langle R \rangle$ を定数とみなしているので, $\langle M \rangle$ もまた 定数となることに注意されたい. ここで仮温度
\begin{displaymath}
T_v \equiv \left( \frac{\langle M \rangle}{M_d} q_d
+ \sum \frac{\langle M \rangle}{ M_v } q_v
\right) T
\end{displaymath} (A.16)

を導入すると,
$\displaystyle p$ $\textstyle =$ $\displaystyle \rho_g \langle R \rangle T$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \rho \langle R \rangle
\frac{\rho_g \langle R \rangle}{\rho \langle R \rangle} T$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \rho \langle R \rangle
\frac{ \rho_d R_d + \sum \rho_v R_v }
{\rho \langle R \rangle } T$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \rho \langle R \rangle
\left( \frac{\langle M \rangle}{M_d} q_d
+ \sum \frac{\langle M \rangle}{ M_v } q_v
\right) T$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \rho \langle R \rangle T_v$ (A.17)

となる. 更に温位
$\displaystyle \theta
\equiv
T \left( \frac{p_{0}}{p} \right)^{ \frac{ \langle R \rangle}
{\langle c_{p} \rangle} }$     (A.18)

及びエクスナー関数
$\displaystyle \Pi
\equiv \frac{T}{\theta}
= \left( \frac{p}{p_{0}} \right)^{ \frac{ \langle R \rangle}
{\langle c_{p} \rangle} }$     (A.19)

並びに仮温位
\begin{displaymath}
\theta_v
\equiv \frac{T_v}{\Pi}
= \left( \frac{\langle M...
..._d
+ \sum \frac{\langle M \rangle}{ M_v } q_v
\right) \theta
\end{displaymath} (A.20)

を導入すると,
$\displaystyle p$ $\textstyle =$ $\displaystyle \rho \langle R \rangle \Pi \theta_v$ (A.21)

となる. ここで
$\displaystyle \langle c_p \rangle$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{\rho_d c_{pd} + \sum \rho_v c_{pv}}{\rho_d + \sum \rho_v}$ (A.22)

である. $c_{pd}$, $c_{pv}$ はそれぞれ非凝結性ガスの定圧比熱, 凝結性ガスの定圧比 熱を表す. 本文書では $\langle c_{p} \rangle$ を平均定圧比熱と呼ぶことにする. (A.21)に(A.19)を代入して $p$ を消去し, $\rho$ について整 理すると,
$\displaystyle \rho
= \frac{
p_{0} \Pi^{ \langle c_v \rangle / \langle R \rangle...
...q_d \langle M \rangle / M_d
+ \sum q_v \langle M \rangle / M_v \right) \theta }$     (A.23)

となる.

A.1.3 熱力学第一法則の書き換え - 温位の式の導出 -

(A.4) において, 凝結物の比熱がガスの比熱に比べて十分小さいとみ なすと,

\begin{displaymath}
\langle c_p \rangle \DD{T}{t} - \Dinv{\rho} \DD{p}{t}
\approx \langle c_p \rangle Q
\end{displaymath} (A.24)

と近似される. さらに凝結物は全密度に比べて十分小さいとみなすと,
\begin{displaymath}
\langle c_p \rangle \DD{T}{t} - \Dinv{\rho_g} \DD{p}{t}
\approx \langle c_p \rangle Q
\end{displaymath} (A.25)

と近似される. $\langle R \rangle$, $\langle c_p \rangle$ が一定であるとみなし, $\theta $ のラグランジュ微分をとると,
$\displaystyle \DD{\theta}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \left( \frac{p_{0}}{p} \right)^{ \frac{ \langle R \rangle}
{\lang...
...{0}}{p} \right)^{ \frac{ \langle R \rangle}
{\langle c_{p} \rangle} } \DD{p}{t}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{\theta}{ \langle c_{p} \rangle T }
\left(
\langle c_p \rangle \DD{T}{t} - \Dinv{\rho_g} \DD{p}{t}
\right)$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{Q}{\Pi}$ (A.26)

となる. 但し式変形の途中で (A.14) を用いた. 非断熱加熱として凝結加熱 $Q_{cond}$, 放射加熱 $Q_{rad}$, 散逸加熱 $Q_{dis}$ を考慮し, また乱流拡散も考慮すると,
$\displaystyle \DD{\theta}{t}
= \Dinv{\Pi} \left( Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis} \right) + D_{\theta}$     (A.27)

が得られる.

予報変数として温位を用いる際には $\langle R \rangle$, $\langle c_p \rangle$ があまり大きく変化することを許容しないことを前提とするので, 計 算の適用範囲に制約が加わることに常に注意しなければならない.

A.1.4 密度の時間発展方程式の書き換え - 比湿の時間発展方程式の導出 -

$D_{\rho_d} + D_{\rho_v} + D_{\rho_c} + D_{\rho_r} = 0$ となると仮定して (A.7) - (A.10) の和をとると,

\begin{displaymath}
\DP{\rho}{t} + \DP{}{x_j} (\rho u_j) = \sum M_{fall} (\rho_r)
\end{displaymath} (A.28)

が得られる. 但し $M_{src} (\rho_v) + M_{src} (\rho_c) + M_{src} (\rho_r) = 0$ となる ことを用いた. (A.7) - (A.10) 及び (A.28) より
$\displaystyle \DP{}{t} \left( \frac{\rho_d}{\rho} \right)$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \frac{\rho_d}{\rho^2} \DP{\rho}{t} + \Dinv{\rho} \DP{\rho_d}{t}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle - \frac{\rho_d}{\rho^2} \left[ - \DP{}{x_j} (\rho u_j) + \sum
M_{...
..._r) \right]
+ \Dinv{\rho}
\left[ - \DP{}{x_j} (\rho_d u_j) + D_{\rho_d} \right]$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle - u_j \DP{}{x_j} \left( \frac{\rho_d}{\rho} \right)
- \frac{\rho_d}{\rho^2} \sum M_{fall} (\rho_r)
+ \Dinv{\rho} D_{\rho_d},$ (A.29)
$\displaystyle \DP{}{t} \left( \frac{\rho_v}{\rho} \right)$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \frac{\rho_v}{\rho^2} \DP{\rho}{t} + \Dinv{\rho}
\DP{\rho_v}{t}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle - \frac{\rho_v}{\rho^2} \left[ - \DP{}{x_j} (\rho u_j) + \sum
M_{fall} (\rho_r) \right]$  
    $\displaystyle + \Dinv{\rho} \left[ - \DP{}{x_j} (\rho_v
u_j) + M_{src} (\rho_v) + D_{\rho_v} \right]$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle - u_j \DP{}{x_j} \left( \frac{\rho_v}{\rho} \right)
- \frac{\rho_...
...\sum M_{fall} (\rho_r)
+ \Dinv{\rho} M_{src} (\rho_v)
+ \Dinv{\rho} D_{\rho_v},$ (A.30)
$\displaystyle \DP{}{t} \left( \frac{\rho_c}{\rho} \right)$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \frac{\rho_c}{\rho^2} \DP{\rho}{t} + \Dinv{\rho}
\DP{\rho_c}{t}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle - \frac{\rho_c}{\rho^2} \left[ - \DP{}{x_j} (\rho u_j) + \sum
M_{fall} (\rho_r) \right]$  
    $\displaystyle + \Dinv{\rho} \left[ - \DP{}{x_j} (\rho_c
u_j) + M_{src} (\rho_c) + D_{\rho_c} \right]$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle - u_j \DP{}{x_j} \left( \frac{\rho_c}{\rho} \right)
- \frac{\rho_...
...\sum M_{fall} (\rho_r)
+ \Dinv{\rho} M_{src} (\rho_c)
+ \Dinv{\rho} D_{\rho_c},$ (A.31)
$\displaystyle \DP{}{t} \left( \frac{\rho_r}{\rho} \right)$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \frac{\rho_r}{\rho^2} \DP{\rho}{t} + \Dinv{\rho}
\DP{\rho_r}{t}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle - \frac{\rho_r}{\rho^2} \left[ - \DP{}{x_j} (\rho u_j) + \sum
M_{fall} (\rho_r) \right]$  
    $\displaystyle + \Dinv{\rho} \left[ - \DP{}{x_j} (\rho_r u_j) + M_{src} (\rho_r)
+ M_{fall} (\rho_r) + D_{\rho_r} \right]$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle - u_j \DP{}{x_j} \left( \frac{\rho_r}{\rho} \right)
- \frac{\rho_...
...rho}
M_{src} (\rho_r) + \Dinv{\rho} M_{fall} (\rho_r)
+ \Dinv{\rho} D_{\rho_r}.$  

ここで
$\displaystyle \Dinv{\rho} D_{\rho_d}$ $\textstyle =$ $\displaystyle D_{q_d},$ (A.32)
$\displaystyle \Dinv{\rho} D_{\rho_v}$ $\textstyle =$ $\displaystyle D_{q_v},$ (A.33)
$\displaystyle \Dinv{\rho} D_{\rho_c}$ $\textstyle =$ $\displaystyle D_{q_c},$ (A.34)
$\displaystyle \Dinv{\rho} D_{\rho_r}$ $\textstyle =$ $\displaystyle D_{q_r}$ (A.35)

と置くと,
$\displaystyle \DD{q_{d}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \frac{q_{d}}{\rho} \sum M_{fall}(\rho_r)
+ D_{q_d},$ (A.36)
$\displaystyle \DD{q_{v}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \frac{q_{v}}{\rho} \sum M_{fall}(\rho_r)
+ \Dinv{\rho} M_{src}(\rho_v)
+ D_{q_v},$ (A.37)
$\displaystyle \DD{q_{c}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \frac{q_{c}}{\rho} \sum M_{fall}(\rho_r)
+ \Dinv{\rho} M_{src}(\rho_c)
+ D_{q_c},$ (A.38)
$\displaystyle \DD{q_r}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \frac{q_r}{\rho} \sum M_{fall}(\rho_r)
+ \Dinv{\rho} M_{fall}(\rho_r) + \Dinv{\rho} M_{src}(\rho_r)
+ D_{q_r}.$ (A.39)

を得る. 但し, $q_d + \sum q_v + \sum q_c + \sum q_r = 1$ の関係が成り立つので, $q_d$ については時間発展方程式を解かずに, 診断的に求めることとする.

A.1.5 圧力方程式の導出

圧力方程式は密度の式と連続の式を組み合わせることで得られる. (A.23) のラグランジュ微分をとると,

$\displaystyle \DD{\rho}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \DD{}{t} \left[ \frac{p_0 \Pi^{\langle c_v \rangle / \langle R
\r...
...gle M \rangle / M_d
+ \sum q_v \langle M \rangle / M_v \right) \theta }
\right]$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{p_0 \Pi^{(\langle c_v \rangle - 1) / \langle R
\rangle}}{
\...
... M_v \right) \theta }
\frac{\langle c_v \rangle}{\langle R \rangle}
\DD{\Pi}{t}$  
    $\displaystyle - \frac{p_0 \Pi^{\langle c_v \rangle / \langle R
\rangle}}{
\lang...
...ngle / M_d
+ \sum q_v \langle M \rangle / M_v \right) \theta^2 }
\DD{\theta}{t}$  
    $\displaystyle - \frac{p_0 \Pi^{\langle c_v \rangle / \langle R
\rangle}}{
\lang...
...ngle}{M_d} \DD{q_d}{t}
+ \sum \frac{\langle M \rangle}{M_v} \DD{q_v}{t} \right)$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \langle c_p \rangle \theta_v
\left( \frac{\langle c_v \rangle}{\l...
...gle
\Pi \theta_v} \right)
\rho \DD{\Pi}{t}
- \frac{\rho}{\theta} \DD{\theta}{t}$  
    $\displaystyle - \frac{\rho}{q_d \langle M \rangle / M_d
+ \sum q_v \langle M \r...
...ngle}{M_d} \DD{q_d}{t}
+ \sum \frac{\langle M \rangle}{M_v} \DD{q_v}{t} \right)$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{\langle c_p \rangle \rho \theta_v}{\langle c_s \rangle^2}
\DD{\Pi}{t}
- \frac{\rho}{\theta} \DD{\theta}{t}$  
    $\displaystyle - \frac{\rho}{q_d \langle M \rangle / M_d
+ \sum q_v \langle M \r...
...gle}{M_d} \DD{q_d}{t}
+ \sum \frac{\langle M \rangle}{M_v} \DD{q_v}{t} \right).$ (A.40)

となる. ここで $\langle c_s \rangle$ は音速であり,
\begin{displaymath}
\langle c_s \rangle^2
= \frac{\langle c_p \rangle \langle R \rangle
\Pi \theta_v}{\langle c_v \rangle}
\end{displaymath} (A.41)

である. (A.41) に (A.28) を適用すると,
$\displaystyle \DD{\Pi}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{\langle c_s \rangle^2}{\langle c_p \rangle \theta_v}
\Bigg[ \Dinv{\rho} \DD{\rho}{t} + \Dinv{\theta} \DD{\theta}{t}$  
    $\displaystyle + \Dinv{q_d \langle M \rangle / M_d
+ \sum q_v \langle M \rangle ...
...} \DD{ q_d}{t}
+ \sum \frac{\langle M \rangle}{M_v} \DD{ q_v}{t} \right)
\Bigg]$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{\langle c_s \rangle^2}{\langle c_p \rangle \theta_v}
\Bigg[...
...P{u_j}{x_j} + \Dinv{\rho} \sum M_{fall} (\rho_r) +
\Dinv{\theta} \DD{\theta}{t}$  
    $\displaystyle + \Dinv{q_d \langle M \rangle / M_d
+ \sum q_v \langle M \rangle ...
...} \DD{ q_d}{t}
+ \sum \frac{\langle M \rangle}{M_v} \DD{ q_v}{t} \right)
\Bigg]$ (A.42)

となり, 圧力方程式が得られる.

A.1.6 運動方程式の書き換え

運動方程式の圧力勾配は, 温位とエクスナー関数を用いることで得られる. (A.19), (A.21) より

$\displaystyle \Dinv{\rho} \DP{p}{x_i}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{ \langle R \rangle \Pi \theta_v }{p}
\DP{ \left(
p_{0} \Pi^{ \langle c_{p} \rangle / \langle R \rangle}
\right)}{x_i}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{ \langle R \rangle \Pi \theta_v }{p}
\left(
\frac{p_{0} {c_...
...{d}} \Pi^{ \langle c_{p} \rangle / \langle
R \rangle - 1}
\right) \DP{\Pi}{x_i}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{ \langle R \rangle \Pi \theta_v }{p}
\left(
\frac{ \langle c_{p} \rangle}{ \langle R \rangle} p \Pi^{-1}
\right) \DP{\Pi}{x_i}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \langle c_{p} \rangle \theta_v \DP{\Pi}{x_i}$  

となる. 以上より
    $\displaystyle \DD{u}{t}
= - \langle c_{p} \rangle \theta_{v} \DP{\Pi}{x}
+ D_u$ (A.43)
    $\displaystyle \DD{v}{t}
= - \langle c_{p} \rangle \theta_{v} \DP{\Pi}{y}
+ D_v$ (A.44)
    $\displaystyle \DD{w}{t}
= - \langle c_{p} \rangle \theta_{v} \DP{\Pi}{z}
- g + D_w$ (A.45)

が得られる.

A.1.7 温位 $\theta $, エクスナー関数 $\Pi $, 風速 $u, v, w$ を予報変数とする場合 の方程式系

以上より, 3 次元大気の状態を 温位 $\theta $, エクスナー関数 $\Pi $, 風速 $u, v, w$, 密度 $\rho$ で表現する場合, 基礎方程式系は以下のようになる.

運動方程式
 
    $\displaystyle \DD{u}{t} = - \langle c_{p} \rangle \theta_v \DP{\Pi}{x} + D_u$ (A.46)
    $\displaystyle \DD{v}{t} = - \langle c_{p} \rangle \theta_v \DP{\Pi}{y} + D_v$ (A.47)
    $\displaystyle \DD{w}{t} = - \langle c_{p} \rangle \theta_v \DP{\Pi}{z} - g + D_w$ (A.48)

圧力方程式
 
$\displaystyle \DP{\Pi}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{\langle c_s \rangle^2}{\langle c_p \rangle \theta_v}
\Bigg[...
...P{u_j}{x_j} + \Dinv{\rho} \sum M_{fall} (\rho_r) +
\Dinv{\theta} \DD{\theta}{t}$  
    $\displaystyle + \Dinv{q_d \langle M \rangle / M_d
+ \sum q_v \langle M \rangle ...
...} \DD{ q_d}{t}
+ \sum \frac{\langle M \rangle}{M_v} \DD{ q_v}{t} \right)
\Bigg]$  

状態方程式
 
$\displaystyle \rho
= \frac{p}{\langle R \rangle \Pi \theta_v}
= \frac{p_0 \Pi^{\langle c_{v} \rangle / \langle R \rangle}}{\langle R
\rangle \theta_v}$     (A.49)

熱の式
 
$\displaystyle \DD{\theta}{t}
= \Dinv{\Pi} \left( Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis} \right) + D_{\theta}$     (A.50)

凝結性ガスおよび凝結物の比湿の式
 
    $\displaystyle \DD{q_{v}}{t}
= - \frac{q_{v}}{\rho} \sum M_{fall}(\rho_r)
+ \Dinv{\rho} M_{src}(\rho_v)
+ D_{q_v}$ (A.51)
    $\displaystyle \DD{q_{c}}{t}
= - \frac{q_{c}}{\rho} \sum M_{fall}(\rho_r)
+ \Dinv{\rho} M_{src}(\rho_c)
+ D_{q_c}$ (A.52)
    $\displaystyle \DD{q_r}{t}
= - \frac{q_r}{\rho} \sum M_{fall}(\rho_r)
+ \Dinv{\rho} M_{fall}(\rho_r) + \Dinv{\rho} M_{src}(\rho_r)
+ D_{q_r}$ (A.53)

ただし, エクスナー関数 $\Pi $ は,
$\displaystyle \Pi \equiv \left( \frac{p}{p_0} \right)^{\langle R \rangle / \langle
c_p \rangle}$     (A.54)

であり, 音速 $\langle c_{s} \rangle$
$\displaystyle \langle c_s \rangle^2$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{\langle c_p \rangle \langle R \rangle
\Pi \theta_v}{\langle c_v \rangle}$ (A.55)

である.

A.2 準圧縮方程式系の導出

準圧縮方程式系では, 変数を基本場と擾乱場に分離し, 線形化を行う.

A.2.1 基本場と擾乱場の分離

変数を基本場と擾乱場に分離し, 基本場は静水圧平衡にあると仮定する. この時, 変数は以下のように書ける.

$\displaystyle u (x,z,t)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \overline{u} (z) + u^{\prime} (x,z,t),$  
$\displaystyle v (x,z,t)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \overline{v} (z) + v^{\prime} (x,z,t),$  
$\displaystyle w (x,z,t)$ $\textstyle =$ $\displaystyle w^{\prime} (x,z,t),$  
$\displaystyle \theta (x,z,t)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \overline{\theta} (z) + \theta^{\prime} (x,z,t),$  
$\displaystyle \Pi (x,z,t)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \overline{\Pi} (z) + \Pi^{\prime} (x,z,t),$  
$\displaystyle q_d (x,z,t)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \overline{q_d} (z) +
{q_d}^{\prime} (x,z,t),$  
$\displaystyle q_v (x,z,t)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \overline{q_v} (z) +
{q_v}^{\prime} (x,z,t),$  
$\displaystyle q_c (x,z,t)$ $\textstyle =$ $\displaystyle {q_c}^{\prime} (x,z,t),$  
$\displaystyle q_r (x,z,t)$ $\textstyle =$ $\displaystyle {q_r}^{\prime} (x,z,t).$  

ここで基本場の風速 $w$ と雲水比湿と雨水比湿はゼロとみなした. そして基本場には静水圧平衡
$\displaystyle \DP{\bar{\Pi}}{z}
= - \frac{g}{\langle c_{p} \rangle \bar{\theta_{v}}}$     (A.56)

の関係が成り立つものとする.

A.2.2 水平方向の運動方程式の線形化

水平方向の運動方程式を基本場と擾乱場に分離する.

$\displaystyle \DP{u^{'}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \left[
( \overline{u} + u^{'} ) \DP{(\overline{u} + u^{'})}{x}
...
...) \DP{(\overline{u} + u^{'})}{y}
+ w^{'} \DP{(\overline{u} + u^{'})}{z}
\right]$  
    $\displaystyle - \langle c_{p} \rangle
\left(
\bar{\theta_{v}} \DP{\bar{\Pi}}{x}...
...a_{v}}^{'} \DP{\bar{\Pi}}{x}
+ {\theta_{v}}^{'} \DP{\Pi^{'}}{x}
\right)
+ D_{u}$  
$\displaystyle \DP{v^{'}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \left[
( \overline{u} + u^{'} ) \DP{(\overline{v} + v^{'})}{x}
...
...) \DP{(\overline{v} + v^{'})}{y}
+ w^{'} \DP{(\overline{v} + v^{'})}{z}
\right]$  
    $\displaystyle - \langle c_{p} \rangle
\left(
\bar{\theta_{v}} \DP{\bar{\Pi}}{y}...
..._{v}}^{'} \DP{\bar{\Pi}}{y}
+ {\theta_{v}}^{'} \DP{\Pi^{'}}{y}
\right)
+ D_{v}.$  

上式において移流項以外の 2 次の微小項を消去し, さらに基本場は $x$ 方向に は変化しないことを利用すると, 以下の擾乱成分の式が得られる.
$\displaystyle \DP{u^{'}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - u^{\prime} \DP{u^{\prime}}{x}
- v^{\prime} \DP{u^{\prime}}{y}
-...
...\prime}}{x}
- \overline{v} \DP{u^{\prime}}{y}
- w^{\prime} \DP{\overline{u}}{z}$  
    $\displaystyle - \langle c_p \rangle \overline{\theta_v} \DP{\Pi^{\prime}}{x}
+ D_{u}$ (A.57)
$\displaystyle \DP{v^{'}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - u^{\prime} \DP{v^{\prime}}{x}
- v^{\prime} \DP{v^{\prime}}{y}
-...
...\prime}}{x}
- \overline{v} \DP{v^{\prime}}{y}
- w^{\prime} \DP{\overline{v}}{z}$  
    $\displaystyle - \langle c_p \rangle \overline{\theta_v} \DP{\Pi^{\prime}}{y}
+ D_{v}.$ (A.58)

A.2.3 鉛直方向の運動方程式の線形化

鉛直方向の運動方程式を基本場と擾乱場に分離する.

$\displaystyle \DP{w^{'}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \left[
(\overline{u} + u^{'} ) \DP{w^{'}}{x}
+ (\overline{v} + v^{'} ) \DP{w^{'}}{y}
+ w^{'} \DP{w^{'}}{z}
\right]$  
    $\displaystyle - \langle c_{p} \rangle
\left(
\bar{\theta_{v}} \DP{\bar{\Pi}}{z}...
...+ {\theta_{v}}^{'} \DP{\bar{\Pi}}{z}
+ {\theta_{v}}^{'} \DP{\Pi^{'}}{z}
\right)$  
    $\displaystyle - g
+ D_{w^{'}}$  

上式において移流項以外の 2 次の微小項を消去すると以下となる.
$\displaystyle \DP{w^{'}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - u^{'} \DP{w^{'}}{x}
- v^{'} \DP{w^{'}}{y}
- w^{'} \DP{w^{'}}{z}
- \overline{u} \DP{w^{'}}{x}
- \overline{v} \DP{w^{'}}{y}$  
    $\displaystyle - \langle c_{p} \rangle
\left(
\bar{\theta_{v}} \DP{\bar{\Pi}}{z}...
... \DP{\Pi^{'}}{z}
+ {\theta_{v}}^{'} \DP{\bar{\Pi}}{z}
\right)
- g
+ D_{w^{'}} .$  

さらに静水圧の式
$\displaystyle \DP{\overline{\Pi}}{z}
= - \frac{g}{\langle c_p \rangle \overline{\theta_v}}$     (A.59)

を利用すると以下のようになる.
$\displaystyle \DP{w^{'}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - u^{'} \DP{w^{'}}{x}
- v^{'} \DP{w^{'}}{y}
- w^{'} \DP{w^{'}}{z}
- \overline{u} \DP{w^{'}}{x}
- \overline{v} \DP{w^{'}}{y}$  
    $\displaystyle + \langle c_p \rangle \bar{\theta_{v}}
\left( \frac{g}{\langle c_...
...ft( \frac{g}{\langle c_p \rangle \bar{\theta_{v}}} \right)
- g + D_{w^{\prime}}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle - u^{'} \DP{w^{'}}{x}
- v^{'} \DP{w^{'}}{y}
- w^{'} \DP{w^{'}}{z}...
... \DP{\Pi^{'}}{z}
+ \frac{{\theta_{v}}^{'}}{\bar{\theta_{v}}} g
+ D_{w^{\prime}}$  

仮温位
$\displaystyle \theta_v
\equiv \frac{T_v}{\Pi}
= \left( \frac{\langle M \rangle}{M_d} q_d
+ \sum \frac{\langle M \rangle}{ M_v } q_v
\right) \theta$     (A.60)

を基本場成分と擾乱成分に分けると,
$\displaystyle \bar{\theta_v}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \left( \frac{\langle M \rangle}{M_d} \bar{q_d}
+ \sum \frac{\langle M \rangle}{ M_v } \bar{q_v}
\right) \bar{\theta}$ (A.61)
$\displaystyle \theta_v^{\prime}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \left( \frac{\langle M \rangle}{M_d} \overline{q_d}
+ \sum \frac{...
...}
+ \sum \frac{\langle M \rangle}{ M_v } q_v^{\prime}
\right) \overline{\theta}$ (A.62)

となるので, 浮力項は
$\displaystyle \frac{\theta_v^{\prime}}{\overline{\theta_v}} g
=
\frac{\theta^{\...
...ne{q_d} \langle M \rangle /M_d +
\sum \overline{q_v} \langle M \rangle / M_v} g$     (A.63)

と書き換えられる. 従って線形化された鉛直方向の運動方程式は
$\displaystyle \DP{w^{\prime}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - u^{\prime} \DP{w^{\prime}}{x}
- v^{\prime} \DP{w^{\prime}}{y}
-...
...\prime}}{z}
- \overline{u} \DP{w^{\prime}}{x}
- \overline{v} \DP{w^{\prime}}{y}$  
    $\displaystyle - \langle c_p \rangle \overline{\theta_v} \DP{\Pi^{\prime}}{z}
+ ...
... \rangle /M_d +
\sum \overline{q_v} \langle M \rangle / M_v} g
+ D_{w^{\prime}}$ (A.64)

となる.

A.2.4 圧力方程式の線形化

Klemp and Wilhelmson (1978) では, 非断熱的な加熱による熱膨張と 凝結に伴う圧力変化を無視しているが, 本モデルではこれを無視しない. (A.43) に (A.37), (A.38) を代入する と,

$\displaystyle \DD{\Pi}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{\langle c_s \rangle^2}{\langle c_p \rangle \theta_v}
\Bigg[...
...eta }
\left\{ \Dinv{\Pi} ( Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis} )
+ D_{\theta} \right\}$  
    $\displaystyle + \Dinv{q_d \langle M \rangle / M_d
+ \sum q_v \langle M \rangle ...
...rangle}{M_d}
\left( - \frac{q_d}{\rho} \sum M_{fall} (\rho_r) + D_{q_d} \right)$  
    $\displaystyle + \sum \frac{\langle M \rangle}{M_v}
\left( - \frac{q_v}{\rho} \sum M_{fall} (\rho_r) + M_{src} (q_v) +
D_{q_v} \right)
\Bigg\}
\Bigg]$ (A.65)

となる. (A.68) の左辺を線形化すると,
$\displaystyle \DD{\Pi}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \DP{\bar{\Pi} + \Pi^{'}}{t}
+ (\overline{u} + u^{'}) \DP{\bar{\Pi...
...verline{v} + v^{'}) \DP{\bar{\Pi}+\Pi^{'}}{y}
+ w^{'} \DP{\bar{\Pi}+\Pi^{'}}{z}$  
  $\textstyle \approx$ $\displaystyle \DP{\Pi^{'}}{t}
+ \overline{u} \DP{\Pi^{'}}{x}
+ \overline{v} \DP{\Pi^{'}}{y}
+ w^{'} \DP{\bar{\Pi}}{z}$  

となる. 乱流拡散項・生成項・雲粒落下項は擾乱成分とみなすと, 圧力方程式を線形化したときの $\langle c_{s} \rangle^2$, 及び $\theta_v$ からの寄与は基本場成分のみとなる. 従って (A.68) の右辺を線形化すると,
    $\displaystyle \frac{\langle c_s \rangle^2}{\langle c_p \rangle \theta_v}
\Bigg[...
...eta }
\left\{ \Dinv{\Pi} ( Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis} )
+ D_{\theta} \right\}$  
    $\displaystyle + \Dinv{q_d \langle M \rangle / M_d
+ \sum q_v \langle M \rangle ...
...rangle}{M_d}
\left( - \frac{q_d}{\rho} \sum M_{fall} (\rho_r) + D_{q_d} \right)$  
    $\displaystyle + \sum \frac{\langle M \rangle}{M_v}
\left( - \frac{q_v}{\rho} \sum M_{fall} (\rho_r) + M_{src} (q_v) +
D_{q_v} \right)
\Bigg\}
\Bigg]$  
  $\textstyle \approx$ $\displaystyle \frac{ \overline{\langle c_s \rangle^2} }{\langle c_p \rangle
\ba...
...t\{ \Dinv{\bar{\Pi}} ( Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis} )
+ D_{\theta^{'}} \right\}$  
    $\displaystyle + \Dinv{ \bar{q_d} \langle M \rangle / M_d
+ \sum \bar{q_v} \lang...
...- \frac{\bar{q_d}}{\bar{\rho}} \sum M_{fall} (\rho_r^{'}) +
D_{q_d^{'}} \right)$  
    $\displaystyle + \sum \frac{\langle M \rangle}{M_v}
\left( - \frac{\bar{q_v}}{\b...
... M_{fall} (\rho_r^{'}) +
M_{src} (q_v^{'}) + D_{q_v^{'}} \right)
\Bigg\}
\Bigg]$  

従って線形化された圧力方程式は
$\displaystyle \DP{ \Pi^{'}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \overline{u} \DP{\Pi^{'}}{x}
- \overline{v} \DP{\Pi^{'}}{y}
- w...
...\langle c_s \rangle^2} }{\langle c_p \rangle
\bar{\theta_v} } \DP{u_j^{'}}{x_j}$  
    $\displaystyle \frac{ \overline{\langle c_s \rangle^2} }{\langle c_p \rangle
\ba...
...t\{ \Dinv{\bar{\Pi}} ( Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis} )
+ D_{\theta^{'}} \right\}$  
    $\displaystyle + \Dinv{ \bar{q_d} \langle M \rangle / M_d
+ \sum \bar{q_v} \lang...
...- \frac{\bar{q_d}}{\bar{\rho}} \sum M_{fall} (\rho_r^{'}) +
D_{q_d^{'}} \right)$  
    $\displaystyle + \sum \frac{\langle M \rangle}{M_v}
\left( - \frac{\bar{q_v}}{\b...
... M_{fall} (\rho_r^{'}) +
M_{src} (q_v^{'}) + D_{q_v^{'}} \right)
\Bigg\}
\Bigg]$ (A.66)

と表される. ここで
$\displaystyle \overline{\langle c_s \rangle^2}
=
\frac{\langle c_p \rangle \langle R \rangle
\bar{\Pi} \bar{\theta_v}}{\langle c_v \rangle}$      

となる. (A.69) の右辺第 3 項, 第 4 項をまとめると,
    $\displaystyle - w^{'} \DP{\bar{\Pi}}{z}
- \frac{ \overline{\langle c_s \rangle^2} }{\langle c_p \rangle
\bar{\theta_v} } \DP{u_j^{'}}{x_j}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle - w^{'} \DP{}{z}
\left( \frac{\bar{\rho} \langle R \rangle \bar{\...
...gle c_p \rangle
\bar{\theta_v} }
\left( \DP{ u^{'}}{x} + \DP{ w^{'}}{z} \right)$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle - w^{'}
\frac{\langle R \rangle}{ \langle c_{v} \rangle} \bar{\Pi...
...angle c_p \rangle
\bar{\theta_v} }
\left( \DP{u^{'}}{x} + \DP{w^{'}}{z} \right)$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle - \frac{\overline{ {\langle c_{s} \rangle}^{2} }}{\langle c_p \ra...
...\bar{\rho} \bar{\theta_v}
\left( \DP{u^{'}}{x} + \DP{w^{'}}{z} \right)
\right\}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle - \frac{\overline{{c_{s}}^{2}}}{\langle c_p \rangle \bar{\rho}
\bar{\theta_v}^{2}}
\Ddiv \left(
\bar{\rho} \bar{\theta_v} \Dvect{u^{'}}
\right)$  

以上より,
$\displaystyle \DP{ \Pi^{'}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \overline{u} \DP{\Pi^{'}}{x}
- \overline{v} \DP{\Pi^{'}}{y}
- \...
...bar{\theta_v}^{2}}
\Ddiv \left(
\bar{\rho} \bar{\theta_v} \Dvect{u^{'}}
\right)$  
    $\displaystyle \frac{ \overline{\langle c_s \rangle^2} }{\langle c_p \rangle
\ba...
...t\{ \Dinv{\bar{\Pi}} ( Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis} )
+ D_{\theta^{'}} \right\}$  
    $\displaystyle + \Dinv{ \bar{q_d} \langle M \rangle / M_d
+ \sum \bar{q_v} \lang...
...- \frac{\bar{q_d}}{\bar{\rho}} \sum M_{fall} (\rho_r^{'}) +
D_{q_d^{'}} \right)$  
    $\displaystyle + \sum \frac{\langle M \rangle}{M_v}
\left( - \frac{\bar{q_v}}{\b...
... M_{fall} (\rho_r^{'}) +
M_{src} (q_v^{'}) + D_{q_v^{'}} \right)
\Bigg\}
\Bigg]$ (A.67)

である.

A.2.5 熱の式の線形化

熱の式を平均成分と擾乱成分に分離する.

$\displaystyle \DP{(\bar{\theta} + \theta^{'})}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - (\overline{u} + u^{'}) \DP{(\bar{\theta} + \theta^{'})}{x}
- (\...
... \DP{(\bar{\theta} + \theta^{'})}{y}
- w^{'}\DP{(\bar{\theta} + \theta^{'})}{z}$  
    $\displaystyle + \Dinv{\bar{\Pi} + \Pi^{'}} (Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis})
+ D_{\bar{\theta}} + D_{\theta^{'}}$  

ここで平均場の量は $z$ の関数であることを用いると,
$\displaystyle \DP{\theta^{'}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \left(
u^{'}\DP{\theta^{'}}{x}
+ v^{'}\DP{\theta^{'}}{y}
+ w^{'...
...a^{'}}{z}
\right)
- \overline{u} \DP{\theta^{'}}{x}
- w^{'}\DP{\bar{\theta}}{z}$  
    $\displaystyle + \Dinv{\bar{\Pi}} (Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis})
+ D_{\bar{\theta}} + D_{\theta^{'}}$ (A.68)

となる.

A.2.6 比湿の保存式の線形化

凝結成分の比湿の保存式についても, 変数を平均成分と擾乱成分に分離する. 熱の式と同様に, 以下のように書ける. 但し, 生成項, 落下項は擾乱成分のみ 存在すると仮定する. この仮定は平均場では凝結は生じていないと考えることに 等しい.

$\displaystyle \DP{q_v^{\prime}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - u^{\prime} \DP{q_v^{\prime}}{x}
- v^{\prime} \DP{q_v^{\prime}}{...
...me}}{x}
- \overline{v} \DP{q_v^{\prime}}{y}
- w^{\prime} \DP{\overline{q_v}}{z}$  
    $\displaystyle - \frac{\overline{q_v}}{\overline{\rho}} \sum M_{fall}
(\rho_r^{\...
...rline{\rho}} M_{src} (\rho_v^{\prime})
+ D_{\overline{q_v}}
+ D_{q_v^{\prime}},$ (A.69)
$\displaystyle \DP{q_c^{\prime}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - u^{\prime} \DP{q_c^{\prime}}{x}
- v^{\prime} \DP{q_c^{\prime}}{...
...me}}{z}
- \overline{u} \DP{q_c^{\prime}}{x}
- \overline{v} \DP{q_c^{\prime}}{y}$  
    $\displaystyle + \Dinv{\overline{\rho}} M_{src} (\rho_c^{\prime})
+ D_{q_c^{\prime}},$ (A.70)
$\displaystyle \DP{q_r^{\prime}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - u^{\prime} \DP{q_r^{\prime}}{x}
- v^{\prime} \DP{q_r^{\prime}}{...
...me}}{z}
- \overline{u} \DP{q_r^{\prime}}{x}
- \overline{v} \DP{q_r^{\prime}}{y}$  
    $\displaystyle + \Dinv{\overline{\rho}} M_{fall} (\rho_r^{\prime})
+ \Dinv{\overline{\rho}} M_{src} (\rho_r^{\prime})
+ D_{q_r^{\prime}}.$ (A.71)

但し雲水量と雨水量は擾乱成分のみの量である.

A.2.7 エネルギー方程式の導出

準圧縮方程式系におけるエネルギー方程式を導出する.

(A.60), (A.61), (A.67) にそれぞれ $\overline{\rho} (\overline{u} + u^{\prime})$, $\overline{\rho} (\overline{v} + v^{\prime})$, $\overline{\rho} w^{\prime}$ を掛けて足し合わせると

$\displaystyle \DP{ (\overline{\rho} K ) }{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \overline{\rho} \Dvect{u} \cdot \nabla K
- \langle c_p \rangle
...
...\Dvect{u} \cdot \nabla \Pi^{\prime}
+ \overline{\rho} \Dvect{u} \cdot \Dvect{D}$  
    $\displaystyle + g \frac{\theta^{\prime}}{\overline{\theta}} \overline{\rho} w^{...
... /M_d +
\sum \overline{q_v} \langle M \rangle / M_v}
\overline{\rho} w^{\prime}$ (A.72)

となる. 但し $\Dvect{u} = (\overline{u} + u^{\prime}, \overline{v} + v^{\prime},
w^{\prime})$, $\Dvect{D} = (D_u, D_v, D_w)$, $K = [(\overline{u} + u^{\prime})^2 + (\overline{v} + v^{\prime})^2 +
{w^{\prime}}^2]/2$ と置いた. 連続の式
\begin{displaymath}
\DP{\rho_d^{\prime}}{t}
+ \DP{}{x} \left[ (\overline{u} + u...
... + \DP{}{z} \left( w^{\prime} \overline{\rho_d} \right)
= 0,
\end{displaymath} (A.73)


\begin{displaymath}
\DP{\rho_v^{\prime}}{t}
+ \DP{}{x} \left[ (\overline{u} + u...
...prime} \overline{\rho_v} \right)
= M_{src} (\rho_v^{\prime})
\end{displaymath} (A.74)

より
\begin{displaymath}
\DP{}{t} \left( \rho_d^{\prime} + \sum \rho_v^{\prime} \righ...
... (\overline{\rho} \Dvect{u})
= \sum M_{src} (\rho_v^{\prime})
\end{displaymath} (A.75)

となる. 但し $\overline{\rho} = \overline{\rho_d} + \sum \overline{\rho_v}$ であ ることを用いた. (A.78) を用いると, (A.75) の右辺第 1 項は
$\displaystyle - \overline{\rho} \Dvect{u} \cdot \nabla K$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \nabla \cdot ( \overline{\rho} K \Dvect{u} )
+ K \nabla \cdot (\overline{\rho} \Dvect{u})$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle - \nabla \cdot ( \overline{\rho} K \Dvect{u} )
- K \DP{}{t} \left( \rho_d^{\prime} + \rho_v^{\prime} \right)
+ K M_{src} (\rho_v^{\prime})$ (A.76)

となる. また (A.70) を用いて (A.75) の右辺第 2 項を書き換えると
$\displaystyle - \langle c_p \rangle \overline{\rho} \overline{\theta_v} \Dvect{u}
\cdot \nabla \Pi^{\prime}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \nabla \cdot [ \langle c_p \rangle \overline{\rho} \overline{\t...
...ngle \Pi^{\prime} \nabla \cdot (\overline{\rho}
\overline{\theta_v} \Dvect{u} )$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle - \nabla \cdot [ \langle c_p \rangle \overline{\rho} \overline{\theta_v}
\Pi^{\prime} \Dvect{u} ]$  
    $\displaystyle + \langle c_p \rangle \Pi^{\prime}
\left[
\frac{ \langle c_p \ran...
... \rangle}^2 } }
{\langle c_p \rangle \overline{\theta_v} \Phi }
\right)
\right]$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle - \nabla \cdot [ \langle c_p \rangle \overline{\rho} \overline{\t...
...e{\theta_v} \Pi^{\prime} }
{ \langle \overline{c_s} \rangle }
\right)^2
\right]$  
    $\displaystyle - \DP{}{x}
\left[
\frac{\overline{\rho} \overline{u}}{2}
\left(
\...
...ht]
+ \langle c_p \rangle \overline{\rho} \overline{\theta_v} \Phi
\Pi^{\prime}$ (A.77)

となる. 但し
$\displaystyle \Phi$ $\textstyle =$ $\displaystyle \Dinv{\bar{\rho}} \sum M_{fall} (\rho_r^{'}) +
\Dinv{ \bar{\theta...
...t\{ \Dinv{\bar{\Pi}} ( Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis} )
+ D_{\theta^{'}} \right\}$  
    $\displaystyle + \Dinv{ \bar{q_d} \langle M \rangle / M_d
+ \sum \bar{q_v} \lang...
...- \frac{\bar{q_d}}{\bar{\rho}} \sum M_{fall} (\rho_r^{'}) +
D_{q_d^{'}} \right)$  
    $\displaystyle + \sum \frac{\langle M \rangle}{M_v}
\left( - \frac{\bar{q_v}}{\b...
...}} \sum M_{fall} (\rho_r^{'}) +
M_{src} (q_v^{'}) + D_{q_v^{'}} \right)
\Bigg\}$ (A.78)

である. (A.78) より任意のスカラー量 $\phi$ について
\begin{displaymath}
\overline{\rho} \DD{\phi}{t}
= \DP{}{t} \left( \overline{\rh...
...\rho_v^{\prime} \right)
- \phi \sum M_{src} (\rho_v^{\prime})
\end{displaymath} (A.79)

が成り立つ. (A.71) 及び (A.82) を用いて (A.75) の右辺第 4 項, 第 5 項を書き換えると,
$\displaystyle \frac{\theta^{\prime}}{\overline{\theta}} \overline{\rho} w^{\prime}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{\theta^{\prime}}{\overline{\theta}} \overline{\rho} \DD{z}{t}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{\overline{\rho}}{\overline{\theta}} \theta^{\prime} \DD{}{t...
...overline{\Pi}}
\left( Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis} \right) - D_{\theta} \right]$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{\overline{\rho}}{\overline{\theta}} \DD{}{t}
(\theta^{\prim...
...overline{\Pi}}
\left( Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis} \right) - D_{\theta} \right]$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \Dinv{\overline{\theta}} \DP{}{t} \left( \overline{\rho} \theta^{...
...o_d^{\prime} + \rho_v^{\prime} \right)
- \sum M_{src} (\rho_v^{\prime})
\right]$  
    $\displaystyle + \frac{\overline{\rho} g z}{\overline{\theta}}
\left[ w^{\prime}...
...overline{\Pi}}
\left( Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis} \right) - D_{\theta} \right]$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \Dinv{\overline{\theta}} \DP{}{t} \left( \overline{\rho} \theta^{...
...eta^{\prime} g z w^{\prime}}
{ {\overline{\theta}}^2}
\DP{\overline{\theta}}{z}$  
    $\displaystyle + \frac{\theta^{\prime} g z}{\overline{\theta}}
\left[
\DP{}{t} \...
...o_d^{\prime} + \rho_v^{\prime} \right)
- \sum M_{src} (\rho_v^{\prime})
\right]$  
    $\displaystyle + \frac{\overline{\rho} g z}{\overline{\theta}}
\left[ w^{\prime}...
...verline{\Pi}}
\left( Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis} \right)
- D_{\theta}
\right],$ (A.80)


$\displaystyle g \overline{\Omega_d} q_d^{\prime} \overline{\rho} w^{\prime}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \overline{\rho} \overline{\Omega_d} q_d^{\prime}
\DD{}{t} (g z)
+...
...erline{q_d}}{\overline{\rho}}
\sum M_{fall} (\rho_r^{\prime}) - D_{q_d}
\right]$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \DP{}{t} (\overline{\rho} \overline{\Omega_d} q_d^{\prime} g z)
+...
...{u} )
- \overline{\rho} q_d^{\prime} g z w^{\prime}
\DP{\overline{\Omega_d}}{z}$  
    $\displaystyle + \overline{\Omega_d} q_d^{\prime} g z
\left[ \DP{}{t} (\rho_d^\p...
...erline{q_d}}{\overline{\rho}} \sum M_{fall}
(\rho_r^{\prime}) - D_{q_d}
\right]$  


$\displaystyle g \overline{\Omega_v} q_v^{\prime} \overline{\rho} w^{\prime}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \overline{\rho} \overline{\Omega_v} q_v^{\prime}
\DD{}{t} (g z)
+...
...erline{q_v}}{\overline{\rho}}
\sum M_{fall} (\rho_r^{\prime}) - D_{q_v}
\right]$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \DP{}{t} (\overline{\rho} \overline{\Omega_v} q_v^{\prime} g z)
+...
...{u} )
- \overline{\rho} q_v^{\prime} g z w^{\prime}
\DP{\overline{\Omega_v}}{z}$  
    $\displaystyle + \overline{\Omega_v} q_v^{\prime} g z
\left[ \DP{}{t} (\rho_v^\prime + \rho_v^{\prime}) \right]$  
    $\displaystyle + \overline{\rho} \overline{\Omega_v} g z
\left[
w^{\prime} \DP{\...
...{\prime}) - \Dinv{\overline{\rho}} M_{src}
(\rho_r^{\prime})
- D_{q_v}
\right].$  

但し
$\displaystyle \overline{\Omega_d}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{\langle M \rangle /M_d }{\overline{q_d} \langle M \rangle /M_d +
\sum \overline{q_v} \langle M \rangle / M_v},$ (A.81)
$\displaystyle \overline{\Omega_v}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{
\langle M \rangle / M_v }{\overline{q_d} \langle M \rangle /M_d +
\sum \overline{q_v} \langle M \rangle / M_v}$ (A.82)

である. (A.79), (A.80), (A.83), (A.84), (A.85) より (A.75) は以下のように書き換えられる.
    $\displaystyle \DP{}{t}
\left\{
\overline{\rho}
\left[
K
- \frac{\theta_v^{\prim...
... \langle c_p \rangle \overline{\theta_v} \Pi^{\prime} \right)
\Dvect{u} \right]$  
    $\displaystyle - \DP{}{x}
\left[
\frac{\overline{\rho} \overline{u}}{2}
\left(
\...
...e{\theta_v} \Pi^{\prime} }
{ \langle \overline{c_s} \rangle }
\right)^2
\right]$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \left(
- K + \frac{\theta_v^{\prime}}{\overline{\theta_v}} g z
\r...
...e})
+ \langle c_p \rangle \overline{\rho} \overline{\theta_v} \Phi
\Pi^{\prime}$  
    $\displaystyle + \frac{ \overline{\rho} \theta^{\prime} g z w^{\prime}}
{ {\over...
...
- \frac{\theta^{\prime} g z}{\overline{\theta}}
\sum M_{src} (\rho_v^{\prime})$  
    $\displaystyle + \frac{\overline{\rho} g z}{\overline{\theta}}
\left[ w^{\prime}...
...overline{\Pi}}
\left( Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis} \right) - D_{\theta} \right]$  
    $\displaystyle - \sum \overline{\rho} \overline{\Omega_v} g z
\left[
\Dinv{\overline{\rho}} M_{src}
(\rho_r^{\prime})
+ D_{q_v}
\right]$  
    $\displaystyle + g z \sum M_{fall} (\rho_r^{\prime})
- \overline{\rho} g z w^{\p...
...DP{\overline{q_d}}{z}
+ \sum \overline{\Omega_v} \DP{\overline{q_v}}{z}
\right)$  

計算領域として矩形領域を想定し, 鉛直方向の境界からの流出は無く, 水平境界 の両端では周期的であるとすると, 計算領域境界面でのフラックスはゼロとなる. 従って (A.88) を全計算領域にわたって積分すると,
    $\displaystyle \DP{}{t} \int
\left\{
\overline{\rho}
\left[
K
- \frac{\theta_v^{...
...v} \Pi^{\prime}}
{\overline{\langle c_s \rangle}}
\right)^2
\right] \right\} dV$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \int \left(
- K + \frac{\theta_v^{\prime}}{\overline{\theta_v}} g...
...erline{\rho} \Dvect{u} \cdot \Dvect{D} dV
+ \int K M_{src} (\rho_v^{\prime}) dV$  
    $\displaystyle + \int \langle c_p \rangle \overline{\rho} \overline{\theta_v} \P...
...\left( \theta^{\prime} + \overline{\theta} \right)
\DP{\overline{\theta}}{z} dV$  
    $\displaystyle - \int \frac{\theta^{\prime} g z}{\overline{\theta}}
\sum M_{src}...
...rline{\Pi}}
\left( Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis} \right)
+ D_{\theta}
\right] dV$  
    $\displaystyle - \int \sum \overline{\rho} \overline{\Omega_v} g z
\left[
\Dinv{...
..._r^{\prime})
+ D_{q_v}
\right] dV
+ \int g z \sum M_{fall} (\rho_r^{\prime}) dV$  
    $\displaystyle - \int \overline{\rho} g z w^{\prime}
\left(
q_d^{\prime} \DP{\ov...
...\overline{q_d}}{z}
+ \sum \overline{\Omega_v} \DP{\overline{q_v}}{z}
\right) dV$  

となり, 準圧縮方程式に関するエネルギー方程式が得られる.

(A.89) の左辺は全エネルギーの時間変化を表している. 左辺の被積分関数の第 1 項, 第 2 項, 第 3 項はそれぞれ運動エネルギー, 浮 力による位置エネルギー, 弾性エネルギー(熱エネルギー)を表す. 右辺第 1 項は準圧縮近似によって現れる項であり, 一般にゼロとなることはな い. 非断熱加熱や乱流拡散や基本場の空間変化が存在しなかったとしても, 右辺がゼ ロとなることは無い. 即ち, 準圧縮方程式では全エネルギーが保存されることはない.

A.3 まとめ

準圧縮方程式系は以下のようにまとめられる.

運動方程式
 
$\displaystyle \DP{u^{'}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - u^{\prime} \DP{u^{\prime}}{x}
- v^{\prime} \DP{u^{\prime}}{y}
-...
...\prime}}{x}
- \overline{v} \DP{u^{\prime}}{y}
- w^{\prime} \DP{\overline{u}}{z}$  
    $\displaystyle - \langle c_p \rangle \overline{\theta_v} \DP{\Pi^{\prime}}{x}
+ D_{u}$ (A.83)
$\displaystyle \DP{v^{'}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - u^{\prime} \DP{v^{\prime}}{x}
- v^{\prime} \DP{v^{\prime}}{y}
-...
...\prime}}{x}
- \overline{v} \DP{v^{\prime}}{y}
- w^{\prime} \DP{\overline{v}}{z}$  
    $\displaystyle - \langle c_p \rangle \overline{\theta_v} \DP{\Pi^{\prime}}{y}
+ D_{v}.$ (A.84)
$\displaystyle \DP{w^{\prime}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - u^{\prime} \DP{w^{\prime}}{x}
- v^{\prime} \DP{w^{\prime}}{y}
-...
...\prime}}{z}
- \overline{u} \DP{w^{\prime}}{x}
- \overline{v} \DP{w^{\prime}}{y}$  
    $\displaystyle - \langle c_p \rangle \overline{\theta_v} \DP{\Pi^{\prime}}{z}
+ ...
... \rangle /M_d +
\sum \overline{q_v} \langle M \rangle / M_v} g
+ D_{w^{\prime}}$  

圧力方程式
 
$\displaystyle \DP{ \Pi^{'}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \overline{u} \DP{\Pi^{'}}{x}
- \overline{v} \DP{\Pi^{'}}{y}
- \...
...bar{\theta_v}^{2}}
\Ddiv \left(
\bar{\rho} \bar{\theta_v} \Dvect{u^{'}}
\right)$  
    $\displaystyle \frac{ \overline{\langle c_s \rangle^2} }{\langle c_p \rangle
\ba...
...t\{ \Dinv{\bar{\Pi}} ( Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis} )
+ D_{\theta^{'}} \right\}$  
    $\displaystyle + \Dinv{ \bar{q_d} \langle M \rangle / M_d
+ \sum \bar{q_v} \lang...
...- \frac{\bar{q_d}}{\bar{\rho}} \sum M_{fall} (\rho_r^{'}) +
D_{q_d^{'}} \right)$  
    $\displaystyle + \sum \frac{\langle M \rangle}{M_v}
\left( - \frac{\bar{q_v}}{\b...
... M_{fall} (\rho_r^{'}) +
M_{src} (q_v^{'}) + D_{q_v^{'}} \right)
\Bigg\}
\Bigg]$ (A.85)

熱の式
 
$\displaystyle \DP{\theta^{'}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - u^{'}\DP{\theta^{'}}{x}
- v^{'}\DP{\theta^{'}}{y}
- w^{'}\DP{\t...
...DP{\theta^{'}}{x}
- \overline{v} \DP{\theta^{'}}{y}
- w^{'}\DP{\bar{\theta}}{z}$  
    $\displaystyle + \Dinv{\bar{\Pi}} (Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis})
+ D_{\bar{\theta}} + D_{\theta^{'}}$ (A.86)

比湿の保存式
 
$\displaystyle \DP{q_v^{\prime}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - u^{\prime} \DP{q_v^{\prime}}{x}
- v^{\prime} \DP{q_v^{\prime}}{...
...me}}{x}
- \overline{v} \DP{q_v^{\prime}}{y}
- w^{\prime} \DP{\overline{q_v}}{z}$  
    $\displaystyle - \frac{\overline{q_v}}{\overline{\rho}} \sum M_{fall}
(\rho_r^{\...
...rline{\rho}} M_{src} (\rho_v^{\prime})
+ D_{\overline{q_v}}
+ D_{q_v^{\prime}},$ (A.87)
$\displaystyle \DP{q_c^{\prime}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - u^{\prime} \DP{q_c^{\prime}}{x}
- v^{\prime} \DP{q_c^{\prime}}{...
...me}}{z}
- \overline{u} \DP{q_c^{\prime}}{x}
- \overline{v} \DP{q_c^{\prime}}{y}$  
    $\displaystyle + \Dinv{\overline{\rho}} M_{src} (\rho_c^{\prime})
+ D_{q_c^{\prime}},$ (A.88)
$\displaystyle \DP{q_r^{\prime}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - u^{\prime} \DP{q_r^{\prime}}{x}
- v^{\prime} \DP{q_r^{\prime}}{...
...me}}{z}
- \overline{u} \DP{q_r^{\prime}}{x}
- \overline{v} \DP{q_r^{\prime}}{y}$  
    $\displaystyle + \Dinv{\overline{\rho}} M_{fall} (\rho_r^{\prime})
+ \Dinv{\overline{\rho}} M_{src} (\rho_r^{\prime})
+ D_{q_r^{\prime}}.$ (A.89)

エネルギー方程式
 
    $\displaystyle \DP{}{t} \int
\left\{
\overline{\rho}
\left[
K
- \frac{\theta_v^{...
...v} \Pi^{\prime}}
{\overline{\langle c_s \rangle}}
\right)^2
\right] \right\} dV$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \int \left(
- K + \frac{\theta_v^{\prime}}{\overline{\theta_v}} g...
...erline{\rho} \Dvect{u} \cdot \Dvect{D} dV
+ \int K M_{src} (\rho_v^{\prime}) dV$  
    $\displaystyle + \int \langle c_p \rangle \overline{\rho} \overline{\theta_v} \P...
...\left( \theta^{\prime} + \overline{\theta} \right)
\DP{\overline{\theta}}{z} dV$  
    $\displaystyle - \int \frac{\theta^{\prime} g z}{\overline{\theta}}
\sum M_{src}...
...rline{\Pi}}
\left( Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis} \right)
+ D_{\theta}
\right] dV$  
    $\displaystyle - \int \sum \overline{\rho} \overline{\Omega_v} g z
\left[
\Dinv{...
..._r^{\prime})
+ D_{q_v}
\right] dV
+ \int g z \sum M_{fall} (\rho_r^{\prime}) dV$  
    $\displaystyle - \int \overline{\rho} g z w^{\prime}
\left(
q_d^{\prime} \DP{\ov...
...\overline{q_d}}{z}
+ \sum \overline{\Omega_v} \DP{\overline{q_v}}{z}
\right) dV$  



... 一般的な圧縮性流体の方程式系は以下のようになるA.1
本モデルは水平鉛直 2 次元であるが, 将来のモデルの開発計画を見据え, 本付 録においては 3 次元の方程式系を導く.

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Yamashita Tatsuya 平成21年12月9日