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C. 雲微物理過程

Kessler(1969) に基づく雲微物理パラメタリゼーションの, 終端速度 717#717, 雲 水の衝突併合による雨水比湿の変化率 112#112, 平均終端速度 148#148, 蒸発による雨水比湿の変化率 110#110 について解説する [*].

1 雨粒の終端速度

Newton の抵抗法則より球体の抵抗力 718#718

719#719     (215)

と表される. ここで 720#720 は抵力係数であり, 一般にレイノルズ数の関数である. 雨滴の落下のようにレイノルズ数が大きい現象の場合, レイノルズ数の定義によ り, 粘性力は流れ場にほとんど寄与しなくなる. このとき 720#720 はレイノルズ数に依存しない定数となる. 抵抗力と重力の釣合いを考えると
721#721     (216)

となる. shuutan2 を 717#717 について解くと,
722#722     (217)

となる. Kessler(1969) では 723#723[kg/m169#169], 724#724[m/s206#206], 725#725 [kg/m169#169], 726#726 として
727#727     (218)

としている[*]. 但し 728#728 は地表面での大気密度である. 他の惑星大気においても 726#726 であるとみなすと,
729#729 (219)

が得られる.

2 雲水の衝突併合

雲水の衝突併合による雨水混合比の変化率 112#112 は, 直径 181#181 の単一の 雨粒の衝突併合による質量変化率 730#730181#181 から 731#731 の 範囲の直径を持つ雨粒の数 732#732 を用いて

733#733 (220)

と表される. 730#730 は,
734#734 (221)

と表される. ここで 717#717 は雨粒の落下速度, 735#735 は雨粒と衝突した雲粒 のうち雨粒に併合される割合を表す係数(捕捉係数)である.

雨粒のサイズ分布関数と雨粒の落下速度 717#717 を以下のように仮定する.

736#736 18#18 737#737 (222)
738#738 18#18 739#739 (223)

ここで 740#740 はパラメータである. 式マーシャル・パ ルマー型分布関数2の分布は一般にマーシャル・パルマー型分布 (Marshall and Palmer, 1948) と呼ばれる. Kessler (1969) では 741#741 とする. これを式衝突併合による雨水混合比の変化率に代入すると,
742#742 18#18 743#743 (224)
  18#18 744#744  
  18#18 745#745 (225)

を得る. ここで 735#735181#181 によらないと仮定した. Kessler (1969) では 746#746 とする.

雨粒のサイズ分布曲線の傾きを表すパラメータ 200#200 は, 以下の式を用 いて雨水比湿 275#275 で置き換える.

747#747 18#18 748#748  
  18#18 749#749  
  18#18 750#750  
  18#18 751#751 (226)

ここで 752#752 は液相の密度である. これを 200#200 について解き, 式CL_cr 項に代入すると,
742#742 18#18 753#753  
  18#18 754#754  
  18#18 755#755 (227)

となる. 最後の式変形では, 756#756 を代入した.

3 平均終端速度

平均終端速度 148#148 は雨滴の鉛直フラックス 757#757, 雨滴密度 15#15 により

758#758     (228)

と表される. 15#15, 757#757 はそれぞれ以下のように表される.
759#759 18#18 760#760 (229)
761#761 18#18 762#762 (230)

ここで 763#763 は直径 181#181 の雨滴の質量であり,
764#764     (231)

と書ける. マーシャル・パルマー型分布関数1, マーシャル・パルマー型 分布関数2, TermVel4 を TermVel2, TermVel3 に 適用すると,
759#759 18#18 765#765  
  18#18 766#766 (232)
761#761 18#18 767#767  
  18#18 768#768 (233)

となる. TermVel5 を TermVel6 に代入して 200#200 を消去すると,
761#761 18#18 769#769  
  18#18 770#770 (234)

となる. TermVel1 に TermVel7 を代入すると
771#771 18#18 772#772  
  432#432 773#773 (235)

が得られる.

4 雨水の蒸発

蒸発による雨水混合比の変化率 110#110 は, 式衝突併合による雨 水混合比の変化率 と同様に

774#774 (236)

と表される. ここで 775#775 は直径 181#181 の単一の雨粒の蒸発によ る質量変化率である.

雨水の蒸発は雨粒の表面からの水蒸気の拡散によって律速されると仮定する. 雨粒周囲の水蒸気フラックスを 776#776 とすると, 雨粒の質量の変化率は

777#777 (237)

と表される. ここで 778#778 は雨粒中心からの距離, 779#779 は雨粒の半径で, 776#776

780#780

と表される. 781#781 は水蒸気の密度, 782#782 は水蒸気の拡散係数であ る. 雨粒の周囲では水蒸気フラックスの収束発散はないと仮定すると,

783#783

が成り立つ. これを積分し

784#784

境界条件 785#785 786#786, 787#787 788#788 を適用すると,

789#789

これより, 雨粒表面での拡散による水蒸気フラックスは
790#790 18#18 791#791  
  18#18 792#792 (238)

よって,
793#793 (239)

と表される. 雨粒が落下しながら蒸発する場合には, 782#782 に補正項のついた
794#794 (240)

が用いられる. ここで 776#776 は換気因子, 795#795 は雨粒表面でのクヌーセン層の 厚さである[*].

Kessler (1969) では, 蒸発による雨粒の成長方程式の右辺の項を 以下のように近似する.

796#796


このとき蒸発による雨粒の成長方程式は
797#797 (241)

となる. これを式蒸発による雨水混合比の増加率に代入し, 雨粒のサイズ分布としてマーシャル・パルマー型分布関数1を 仮定すると,
798#798 18#18 799#799  
  18#18 800#800  
  18#18 801#801  
  18#18 802#802  
  18#18 803#803  
  18#18 804#804 (242)

最後の式変形を行う際にはλの式式の関係を用いて 200#200 を消去し, 805#805, 741#741 とした [*].



Footnotes

... について解説する[*]
本章の内容は Ogura and Takahashi (1971), 浅井 (1983) を参考に した.
... としている[*]
Kessler(1969) では 720#720 をどのように決めたのかについては書かれていない. Gunn and Kinzer(1949) によると, レイノルズ数が 3000 程度である雨粒の 720#720 の値は 0.66 となるので, Kessler(1969) は系の特徴的なレイノルズ数が 3000 程度であると想定して 720#720 の値を決めたのかも知れない.
... 厚さである[*]
蒸発による雨粒の成長方程式 は Kinzer and Gunn(1951) で導出され ている. 導出方法については要確認である.
... とした[*]
Kessler (1969) では最終的には

806#806

としている.
Yamashita Tatsuya 2010-03-31