Subsections

A. 準圧縮方程式系の導出

1 温位 1#1, エクスナー関数 2#2, 風速 3#3 を予報変数とする場合 の方程式系

地球大気における湿潤対流の定式化同様, 大気の乾燥成分と湿潤成分の 分子量の差を密度の式には考慮するが, 熱の式には考慮しないような 系を考える. またガスは理想気体であるとみなす. このような系では温位 1#1 が非凝結時の保存量として使える.

1 元となる方程式系

3 次元大気の状態を 気温 255#255, 圧力 256#256, 風速 3#3, 密度 16#16 で表現する場合, 一般的な圧縮性流体の方程式系は以下のようになる [*].

運動方程式
 
    257#257 (63)
    258#258 (64)
    259#259 (65)

熱力学第一法則
 
260#260     (66)

状態方程式
 
261#261 18#18 262#262 (67)
263#263 18#18 264#264 (68)

密度の時間発展方程式
 
265#265 18#18 266#266 (69)
267#267 18#18 268#268 (70)
269#269 18#18 270#270 (71)
271#271 18#18 272#272 (72)

ここで 273#273 は凝結物も含んだ単位質量の気塊の定圧比熱, 274#274 は非断熱加熱, 8#8 は比湿, 9#9 は雲水比湿, 275#275 は雨水比湿である. 276#276 は, 凝結成分の数だけ存在する. 104#104, 102#102, 103#103 はそれぞれ 乱流拡散項, 生成消滅項, 落下項を意味する. 以下では, 温位 1#1, エクスナー関数 2#2, 風速 3#3 を予報変数と する場合の基礎方程式系を導出する.

2 状態方程式の書き換え

equations:eqsdry, equations:eqsvapor より

277#277 18#18 278#278  
  18#18 279#279  
  18#18 280#280 (73)

ここで
281#281 46#46 282#282 (74)
283#283 46#46 284#284 (75)

と置くと,
285#285     (76)

となる. 但し 56#56, 57#57 はそれぞれ非凝結性ガスの気体定数, 凝結性ガスの気体定数 である. 60#60 は気体定数の密度の重みつき平均であり, 本文書では平均 気体定数と呼ぶことにする.

普遍気体定数を 286#286 として,

287#287 46#46 288#288 (77)

と置く. 但し 69#69, 70#70 はそれぞれ非凝結性ガスの分子量, 凝結性ガスの分子量を表 す. また 62#62 を平均分子量と呼ぶことにする. 本モデルでは 60#60, 62#62 を一定値とみなし, 以降 59#59, 71#71 と書くことにする. ここで仮温度
289#289 (78)

を導入すると,
277#277 18#18 290#290  
  18#18 291#291  
  18#18 292#292  
  18#18 293#293  
  18#18 294#294 (79)

となる. 更に温位
295#295     (80)

及びエクスナー関数
296#296     (81)

並びに仮温位
297#297 (82)

を導入すると,
277#277 18#18 298#298 (83)

となる. ここで
299#299 18#18 300#300 (84)

であり, 本文書では 139#139 を平均定圧比熱と呼ぶことにす る. 54#54, 55#55 はそれぞれ非凝結性ガスの定圧比熱, 凝結性ガスの定圧比 熱を表す. また本モデルでは 139#139 を一定値とみなし, 301#301 と表すことにする. Tffにtheta5を代入して 256#256 を消去し, 16#16 について整 理すると,
302#302     (85)

となる.

3 熱力学第一法則の書き換え - 温位の式の導出 -

theta1 において, 凝結物の比熱がガスの比熱に比べて十分小さいとみ なすと,

303#303 (86)

と近似される. さらに凝結物は全密度に比べて十分小さいとみなすと,
304#304 (87)

と近似される. 59#59, 58#58 が一定であるとみなし, 1#1 のラグランジュ微分をとると,
305#305 18#18 306#306  
  18#18 307#307  
  18#18 308#308 (88)

となる. 但し式変形の途中で theta7 を用いた. 非断熱加熱として凝結加熱 99#99, 放射加熱 100#100, 散逸加熱 101#101 を考慮し, また乱流拡散も考慮すると,
309#309     (89)

が得られる.

予報変数として温位を用いる際には平均気体定数, 平均定圧比熱があまり大きく 変化することを許容しないことを前提とするので, 計算の適用範囲に制約が加わ ることに常に注意しなければならない.

4 密度の時間発展方程式の書き換え - 比湿の時間発展方程式の導出 -

310#310 となると仮定して renzoku1 - renzoku4 の和をとると,

311#311 (90)

が得られる. 但し 312#312 となる ことを用いた. renzoku1 - renzoku4 及び renzoku5 より
313#313 18#18 314#314  
  18#18 315#315  
  18#18 316#316 (91)
317#317 18#18 318#318  
  18#18 319#319  
    320#320  
  18#18 321#321 (92)
322#322 18#18 323#323  
  18#18 324#324  
    325#325  
  18#18 326#326 (93)
327#327 18#18 328#328  
  18#18 329#329  
    330#330  
  18#18 331#331  
332#332     (94)

ここで
333#333 18#18 334#334 (95)
335#335 18#18 336#336 (96)
337#337 18#18 338#338 (97)
339#339 18#18 340#340 (98)

と置くと,
341#341 18#18 342#342 (99)
343#343 18#18 344#344 (100)
345#345 18#18 346#346 (101)
347#347 18#18 348#348 (102)

を得る. 但し, 349#349 の関係が成り立つので, 350#350 については時間発展方程式を解かずに, 診断的に求めることとする.

5 相当温位の導出

theta8, sphm7 において, 放射加熱・散逸加熱・乱流拡散・ 雲粒落下を無視すると,

351#351 18#18 352#352 (103)
353#353 18#18 354#354 (104)

となる. ここで 355#355 であると仮定すると [*], epot1, epot2 より
356#356     (105)

となる. epot3において
357#357     (106)

と置くと, 232#232 は近似的に保存量となる.

6 圧力方程式の導出

圧力方程式は密度の式と連続の式を組み合わせることで得られる. Tfg のラグランジュ微分をとると,

358#358 18#18 359#359  
  18#18 360#360  
    361#361  
    362#362  
  18#18 363#363  
    364#364  
  18#18 365#365  
    366#366 (107)

となる. ここで 105#105 は音速であり,
367#367 (108)

である. pressure:theta-pi:drho に renzoku5 を適用すると,
368#368 18#18 369#369  
    370#370  
  18#18 371#371  
    372#372 (109)

となり, 圧力方程式が得られる.

7 運動方程式の書き換え

運動方程式の圧力勾配は, 温位とエクスナー関数を用いることで得られる. theta5, Tff より

373#373 18#18 374#374  
  18#18 375#375  
  18#18 376#376  
  18#18 377#377  

となる. 以上より
    378#378 (110)
    379#379 (111)
    380#380 (112)

が得られる.

8 温位 1#1, エクスナー関数 2#2, 風速 3#3 を予報変数とする場合 の方程式系

以上より, 3 次元大気の状態を 温位 1#1, エクスナー関数 2#2, 風速 3#3, 密度 16#16 で表現する場合, 基礎方程式系は以下のようになる.

運動方程式
 
    381#381 (113)
    382#382 (114)
    383#383 (115)

圧力方程式
 
384#384 18#18 371#371  
    370#370  
385#385     (116)

状態方程式
 
386#386     (117)

熱の式
 
387#387     (118)

凝結性ガスおよび凝結物の比湿の式
 
    388#388 (119)
    389#389 (120)
    390#390 (121)

ただし, エクスナー関数 2#2 は,
391#391     (122)

であり, 音速 392#392
393#393 18#18 394#394 (123)

である.

2 準圧縮方程式系の導出

準圧縮方程式系では, 変数を基本場と擾乱場に分離し, 線形化を行う.

1 基本場と擾乱場の分離

変数を基本場と擾乱場に分離し, 基本場は静水圧平衡にあると仮定する. この時, 変数は以下のように書ける.

29#29 18#18 30#30  
395#395 18#18 396#396  
31#31 18#18 32#32  
33#33 18#18 34#34  
35#35 18#18 36#36  
37#37 18#18 38#38  
39#39 18#18 40#40  
41#41 18#18 42#42  
43#43 18#18 44#44  

ここで基本場の風速 26#26 と雲水比湿と雨水比湿はゼロとみなした. そして基本場には静水圧平衡
397#397     (124)

の関係が成り立つものとする.

2 水平方向の運動方程式の線形化

水平方向の運動方程式を基本場と擾乱場に分離する.

398#398 18#18 399#399  
    400#400  
401#401 18#18 402#402  
    403#403  

上式において移流項以外の 2 次の微小項を消去し, さらに基本場は 4#4 方向に は変化しないことを利用すると, 以下の擾乱成分の式が得られる.
398#398 18#18 404#404  
    405#405 (125)
401#401 18#18 406#406  
    407#407 (126)

3 鉛直方向の運動方程式の線形化

鉛直方向の運動方程式を基本場と擾乱場に分離する.

408#408 18#18 409#409  
    410#410  
    411#411  

上式において移流項以外の 2 次の微小項を消去すると以下となる.
408#408 18#18 412#412  
    413#413  

さらに静水圧の式
63#63     (127)

を利用すると以下のようになる.
408#408 18#18 412#412  
    414#414  
  18#18 415#415  

仮温位
416#416     (128)

を基本場成分と擾乱成分に分けると,
417#417 18#18 418#418  
  18#18 419#419 (129)
420#420 18#18 421#421  
  18#18 422#422  
    423#423 (130)

となるので, 浮力項は
424#424     (131)

と書き換えられる. 従って線形化された鉛直方向の運動方程式は
83#83 18#18 425#425  
    426#426 (132)

となる.

4 圧力方程式の線形化

Klemp and Wilhelmson (1978) では, 非断熱的な加熱による熱膨張と 凝結に伴う圧力変化を無視しているが, 本モデルではこれを無視しない. pressure:theta-p:p に sphm6, sphm7 を代入する と,

368#368 18#18 427#427  
    428#428  
    429#429  
  18#18 427#427  
    430#430 (133)

となる. pressEQ1 の左辺を線形化すると,
368#368 18#18 431#431  
  432#432 433#433  

となる. 乱流拡散項・生成項・雲粒落下項は擾乱成分とみなすと, 圧力方程式を線形化したときの 434#434, 及び 68#68 からの寄与は基本場成分のみとなる. 従って pressEQ1 の右辺を線形化すると,
    427#427  
    435#435  
  432#432 436#436  
    437#437  
  18#18 436#436  
    438#438  

となる. ここで 439#439, 440#440 となることを用いた. また
441#441      

である. 従って線形化された圧力方程式は
86#86 18#18 442#442  
    88#88  
    438#438  
443#443     (134)

と表される. pressEQ2 の右辺第 1 項, 第 2 項をまとめると,
    442#442  
  18#18 444#444  
  18#18 445#445  
  18#18 446#446  
  18#18 87#87  

以上より,
86#86 18#18 87#87  
    88#88  
    438#438  
447#447     (135)

である.

5 熱の式の線形化

熱の式を平均成分と擾乱成分に分離する.

448#448 18#18 449#449  
    450#450  

ここで平均場の量は 5#5 の関数であることを用いると,
451#451 18#18 452#452  
    453#453 (136)

となる.

6 比湿の保存式の線形化

凝結成分の比湿の保存式についても, 変数を平均成分と擾乱成分に分離する. 熱の式と同様に, 以下のように書ける. 但し, 生成項, 落下項は擾乱成分のみ 存在すると仮定する. この仮定は平均場では凝結は生じていないと考えることに 等しい.

129#129 18#18 454#454  
    455#455 (137)
132#132 18#18 456#456  
    457#457 (138)
135#135 18#18 458#458  
    459#459 (139)

但し雲水量と雨水量は擾乱成分のみの量である.

7 エネルギー方程式の導出

準圧縮方程式系におけるエネルギー方程式を導出する.

bunri:moist:dudt, bunri:moist:dvdt, bunri:moist:dwdt にそれぞれ 460#460, 461#461, 462#462 を掛けて足し合わせると

463#463 18#18 464#464 (140)

となる. 但し 465#465, 466#466, 467#467 と置いた. 連続の式
468#468 (141)


469#469 (142)

より
470#470 (143)

となる. 但し 471#471 であ ることを用いた. AAB を用いると, AAA の右辺第 1 項は
472#472 18#18 473#473  
  18#18 474#474 (144)

となる. また pressEQ3 を用いて AAA の右辺第 2 項を書き換えると
475#475 18#18 476#476  
  18#18 477#477  
    478#478  
    479#479  
    480#480  
    481#481  
  18#18 482#482  
    483#483  
    484#484  
    480#480  
    485#485 (145)

となる. AAB より任意のスカラー量 486#486 について
487#487 (146)

が成り立つ. Thermeq 及び AAE を用いて AAA の右辺第 4 項 を書き換えると,
488#488 18#18 489#489  
  18#18 490#490  
  18#18 491#491  
  18#18 492#492  
    493#493  
  18#18 494#494  
    495#495  
    496#496 (147)


497#497 18#18 498#498  
    499#499  
    500#500  
501#501     (148)


502#502 18#18 503#503  
    504#504  
    505#505  
506#506     (149)


507#507 18#18 508#508  
    509#509  
    510#510  
511#511     (150)

AAC, AAD, AAF, AAF-2, AAF-3, AAF-3A より AAA は以下のように書き換えられる.
    512#512  
  18#18 513#513  
    483#483  
    484#484  
    438#438  
    514#514  
    515#515  
    516#516  
    517#517  
    518#518  
    519#519 (151)

計算領域として矩形領域を想定し, 鉛直方向の境界からの流出は無く, 水平境界 の両端では周期的であるとすると, 計算領域境界面でのフラックスはゼロとなる. 従って AAG を全計算領域にわたって積分すると,
    520#520  
  18#18 521#521  
    522#522  
    484#484  
    523#523  
    524#524  
    525#525  
    526#526  
    517#517  
    527#527  
    528#528 (152)

となり, 準圧縮方程式に関するエネルギー方程式が得られる.

AAH の左辺は全エネルギーの時間変化を表している. 左辺の被積分関数の第 1 項, 第 2 項, 第 3 項はそれぞれ運動エネルギー, 浮 力による位置エネルギー, 弾性エネルギー(熱エネルギー)を表す. 右辺第 1 項, 第 5 項, 第 6 項は準圧縮近似によって現れる項であり, 一般に ゼロとなることはない. 右辺第 2 項は運動量の乱流拡散, 第 3 項は凝結, 第 4 項は非断熱加熱と乱流 拡散, 第 7 項は蒸気の勾配・雲粒落下・水蒸気拡散, 第 8 項は温位勾配・非断 熱加熱を表す. 非断熱加熱や乱流拡散や基本場の空間変化が存在しなかったとしても, 右辺がゼ ロとなることは無い. 即ち, 準圧縮方程式では全エネルギーが保存されることはない.

3 まとめ

準圧縮方程式系は以下のようにまとめられる.

運動方程式
 
398#398 18#18 404#404  
    529#529 (153)
401#401 18#18 406#406  
    530#530 (154)
83#83 18#18 425#425  
    531#531  
532#532     (155)

圧力方程式
 
86#86 18#18 533#533  
    89#89  
    90#90  
534#534     (156)

熱の式
 
451#451 18#18 535#535  
    536#536 (157)

比湿の保存式
 
129#129 18#18 454#454  
    537#537 (158)
132#132 18#18 456#456  
    538#538 (159)
135#135 18#18 458#458  
    539#539 (160)

エネルギー方程式
 
    520#520  
  18#18 540#540  
    541#541  
    542#542  
    543#543  
    544#544  
545#545     (161)



Footnotes

... 一般的な圧縮性流体の方程式系は以下のようになる[*]
本モデルは水平鉛直 2 次元であるが, 将来のモデルの開発計画を見据え, 本付 録においては 3 次元の方程式系を導く.
... であると仮定すると[*]
地球大気ではこの近似が成立するとされているが, 他の惑星大気で成立するかど うかは常に確かめる必要がある.
Yamashita Tatsuya 2010-03-31