　Fluid Dynamics in Earth and Planetary Sciences (FDEPS)
　Second FDEPS Workshop 
　Dec 4 - 8, 1999
　Graduate School of Mathematical Sciences, University of Tokyo

Lecture 1. Eddy diffusivity
W. R. Young

2000 年 12 月 06 日

OHP 資料一覧

The renovating random wave model
- ランダムウオークモデル
  - $\psi_n = q^{-1}U\cos[q\cos\theta_n x + q\sin\theta_n y + \phi_n]$ ,
  - $1/q = \mbox{length},\ 1/Uq = \mbox{time}$
  - 簡単なモデルで性質を徹底的にみよう.
Eddy diffusion in the isotropic and homogeneous case
- 1 粒子の統計的性質
  - $u=U\sin\theta_n \sin[qcx+qsy+\varphi]$ ,
    $\Delta=u\tau=U\tau\sin\theta_n \sin[qcx+qsy+\varphi]$ ,
    $\bar{\Delta^2} = U^2\tau \int d\theta/2\pi \int d\varphi/2\pi \sin^2\theta \sin^2[qcx+qsy+\varphi] = U^2\tau^2/2$ ,
  - $\bar{\Delta^2}$ が q によらない.
  - P(r) が $r=\tau$ で singular <- 速度の max が flat である.
- blob の引き延ばし
  - Bachelor の議論と整合的 : 速度場のスケールに近づくまで線素が指数的にのびる.
  - 延び率をいかにもとめるか?
- 大きな blob の渦拡散
  - $r_*=rq, r_* \gg 1$ : eddy-diffusion limit
- 渦拡散方程式の導出
  - $c_t + u \grad c = 0, c=\delta(x)$ ,
    u = a realization of the RRW model
  - 普通に ensemble 平均をとると ensemble average $\langle c\rangle + \Ddiv\langle uc \rangle = 0$ となって, 解けない. しかしながら correlation function を用いると
    $c(x,t+\tau)=\int c(x,t) G(x-r)d^3r$
    G(x-r) が t, $t+\tau$ だけに依存するなら別々に計算できて(?)
    $\langle c(x,t+\tau)\rangle=\int \langle c(x,t)\rangle \langle G \rangle d^3r =\int\langle c(x,t)\rangle g(x-r)d^3r$
    これが master 方程式. ensemble 平均の正確な時間発展を計算できる.
    これをテイラー展開すると, 拡散方程式が出来上がり.
- RRW モデルの詳細
  - g(r) は中心と端に特異点をもつ.
  - Fourier 空間では, たたき込みを簡単に計算できる.
    $\langle c(x,t+\tau)\rangle=\int \langle c(x,t)\rangle \langle G\rangle d^3r =\int \langle c(x-r,t)\rangleg(r)d^3r \langle\tilde{c}(t+\tau,k)\rangle =\langle\tilde{c}(t,k)\rangle \tilde{g}(|k|) \langle\tilde{c}(n\tau,k)\rangle=\tilde{g}^N(k) \langle\tilde{c}(0,k)\rangle=\tilde{g}^N(k)$
    ここで g(r) の具体的な形を代入すると
    $\langle \tilde{c}(n\tau,k)\rangle=\tilde{J_0^2(k\tau/2)}^N \sim (1-z^2/2)^N \sim \exp(N\ln[1-z^2/2]) \sim \exp(-Nz^2/2) \sim \exp(-Nk^2\tau^2/8) \sim \exp(-\tau k^2 t/8)$
    というわけで, $D_{eff} = \tau/8$ ともとまる.
Dispersion of a front; coarse gaining versus ensemble averages
- Front の拡散
  - このような OHP をたくさん重ねあわせてグレイスケールで見たときの濃度が Front の拡散現象
- 拡散方程式の正当性と有効性
  - 気象・海洋では実態は 1 ケース. ensemble をとれない.
  - 一般的には粗いグリッドで見るフィルター操作を導入する(K(x)).
  - 気象では y 方向に平均をとれば ensemble 平均の代わりになる.
  - 海洋ではどうする?
- 渦拡散は漸近的にはうまく行く
  - たくさんの粒子をとってその変位の統計を計算
  - 時間がたつと, Diffision eq. で予想される Gaussian profile にちかずく
The variance budget and the Osborne-Cox method
- 分散の収支
  - $c' = c - \langle c \rangle$ と fluctuation を定義して, その 2 乗平均 $\langle c'^2 \rangle$ の分布(分散)の予想式を求める.
  - $\langle\langle c\rangle\rangle = \langle c\rangle \longrightarrow \langle c'\rangle = 0, \langle ab \rangle = \langle a \rangle\langle b\rangle + \langle a'b' \rangle$
  - c'² の式の右辺は分散のソースとシンク. 最後の項は negative definete. 分子拡散は c' の大きさを抑える.
  - Osborne-Cox (OC)の方法では, local なソース, シンクがバランスする, という描像.
  - 先の front の例では分子拡散がないので, バランスには右辺の項が必須
  - 渦拡散を用いた表現では, 分子拡散がないと時間的に分散が増えて行くだけ. 分子拡散は分散の暴走を妨げている (runaway variance).
- Front の分散
- Osborn and Cox
  - これまでの c として温度を考えよう.
  - 温度の生データ(右側)を 10m スケールでフィルタリング(左側)
  - $D_e\Dgrad \langle c \rangle \cdot\Dgrad \langle c \rangle = \kappa \langle \Dgrad c'\cdot \Dgrad c'\rangle$ のバランスから渦拡散の値を推定(10^-5m²/s)
  - Ledwell and Watson : 海洋の中のトレーサーによる実験. 等密度面ではさまれた層にトレーサーを流しておき, 時間がたった後(several months or 1 year?) トレーサーの位置をみる. Osborne and Cox の結果と整合的な渦拡散の値が得られている.