\documentclass[a4paper, 11pt]{jarticle}

\begin{document}

   \begin{flushleft}

      \textgt{ITPASS 数値計算実習課題その１ (2009年7月3日(金)出題)}

   \end{flushleft}

   \begin{flushleft}

      惑星の軌道計算をする準備として、２体問題に関する簡単な問題を解いてみ  ましょう。解答はにあたっては次のことに注意してください。

      \begin{itemize}

         \item 解答は \TeX で作成し、\TeX のソースファイルと PDF ファイルを 提出すること。

         \item 7月17日(金)に出題される「課題その２」と合わせて提出すること  。「課題その２」については7月17日(金)に詳細を告知する。

         \item 提出期限は、「課題その２」と合わせて 8月10日(月) の17時とする。

         \item 提出方法に関しては、「課題その２」と合わせて 7月17日(金)に詳 細を告知する。

      \end{itemize}

      \newpage

      \textgt{問題}

      \newline

      万有引力の法則

      \[ F = - \frac{GMm}{r^2} \]

      を用いて、惑星の軌道を計算することを考えてみよう。簡単のため、考える系における支配的な力は万有引力のみであるとする。いま、質量が $ m_1 $ である中心星と、質量が $ m_2 $ である惑星のみで構成される惑星系を考える。また中心星及び惑星の位置はベクトル $ \mathbf{r}_1 $ 、 $ \mathbf{r}_2 $ で表されるとする。

      \begin{enumerate}

         \item 中心星と惑星に対して成り立つ運動方程式を書け。またそれらから

            \[
            \frac{d^2 \mathbf{r}}{dt^2}
            =
            - \frac{G (m_1 + m_2)}{r^3} \mathbf{r}
            \]
 
            を導出せよ。ここで $ \mathbf{r} $ は $ \mathbf{r} = \mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1 $ で表される。相対ベクトルとする。このとき、上記運動方程式で表される運動がどのようなものかを考えよ。

         \item 1. の運動方程式を成分に分けることを考えよう。相対ベクトル $ \mathbf{r} = (x , \, y ) $ に対して、速度を

            \[
            \mathbf{v}
            \equiv 
            (v_x , \, v_y) 
            = \left(
            \frac{dx}{dt} , \, \frac{dy}{dt}
            \right)
            \]

            と定義する。このとき、$ \frac{d v_x}{dt} $ と $ \frac{dv_y}{dt} $ を $ x $ 、$ y $ を用いて表せ。

      \end{enumerate}

   \end{flushleft}

\end{document}
