ITPASS 数値計算実習課題その１ (2010 年 6 月 25 日 (金) 出題)

惑星の軌道計算をする準備として、２体問題に関する簡単な問題を解いてみましょう。解答にあたっては次のことに注意してください。

• 解答は TEX で作成し、 TEX のソースファイルと PDF ファイルを提出すること。

• 7 月 9 日 (金) に出題される「課題その２」と合わせて提出すること。「課題その２」については 7 月 9 日 (金) に詳細を告知する。

• 提出期限は、「課題その２」と合わせて 7 月 15 日 (木) の 24 時とする。

• 提出方法に関しては、「課題その２」と合わせて 7 月 9 日 (金) に詳細を告知する。問題万有引力の法則

F = −\frac{GMm}{r^{2}}

を用いて、惑星の軌道を計算することを考えてみよう。簡単のため、考える系における支配的な力は万有引力のみであるとする。いま、質量が m_{1} である中心星と、質量が m_{2} である惑星のみで構成される惑星系を考える。また中心星及び惑星の位置はベクトル r_{1}, r_{2} で表されるとする。

1. 慣性系において、中心星と惑星に対して成り立つ運動方程式を書け。またそれらから

\frac{d^{2}r}{dt^{2}} = −\frac{G(m_{1} + m_{2})}{r^{3}}r

を導出せよ。ここで r は r = r_{2} − r_{1} で表される相対ベクトルとする。このとき、上記運動方程式で表される運動がどのようなものかを考えよ。

2. 1. の運動方程式を成分に分けることを考えよう。簡単のため、二体は同一平面上を運動しているとする。相対ベクトル r = (x, y) に対して、速度を

v ≡ (v_{x}, v_{y}) = (\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt} )

と定義する。このとき、\frac{dv_{x}}{dt} と\frac{dv_{y}}{dt} を x, y を用いて表せ。

おまけ以下は発展問題です。提出の必要はありませんが、余力のある人は考えてみると 7 月 9 日の数値計算実習で役に立つでしょう。上記の問題では 2 体問題を扱いました。これが 3 体になると運動方程式はどうなるでしょうか。中心星の質量を m_{1}, その周りを運動する天体の質量を m_{2}, m_{3}, 位置ベクトルはそれぞれ r_{1}, r_{2}, r_{3} とし、相対ベクトル

r_{ij} = r_{i} − r_{j} (i, j = 1, 2, 3)

を用いて考えてみてください。