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: 参考文献 : 一般的な場合の MPDATA : 速度場が発散場の場合   目次

速度場が非定常な場合

速度場が非定常な場合, $\psi $$t$ に関する 2 階微分をこれまでの ように簡単に空間微分に置き換えることができない. たとえば 1 次元の 場合,


\begin{displaymath}
\DP[2]{\psi }{t}
= -\DP{}{t}\left[ \left( \DP{}{x}(u\psi ...
...{u}{t}\right] +
\DP{}{x}\left[ u^{2} \DP{\psi }{x} \right],
\end{displaymath} (42)

となる. スキームには上式の右辺第 1 項が考慮されなければならない. しかし $u$$\psi $ が結合していなければ, この項の存在は以下の 手続きに従い簡単に取り込むことができる. まず 1 次元移流方程式 (2)を次のように時間方向に差分化する.


\begin{displaymath}
\frac{\psi ^{n+1}-\psi ^{n}}{\Delta t } =
-\DP{}{x}(u^{n+\frac{1}{2}}\psi ^{n}),
\end{displaymath} (43)

$\psi ^{n+1}, u^{n+\frac{1}{2}}$ をそれぞれ時刻 $t$ の周りで展開する. このとき $\psi $$t$ に関する 2 階微分は(42)のように表す.


$\displaystyle \psi _{i}^{n+1}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \psi _{i}^{n} + \left.\DP{\psi }{t}\right\vert^{n}
\Delta t
+ \left.\frac{1}{2}\DP[2]{\psi }{r}\right\vert^{n}(\Delta t)^{2}
+ O(\Delta t^{3})$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \psi _{i}^{n} + \left.\DP{\psi }{t}\right\vert^{n}\Delta t
- \fra...
...^{2}\DP{}{x}
\left(\psi \left.\DP{u}{t}\right)\right\vert^{n}+ O(\Delta t^{3}),$ (44)
$\displaystyle -\DP{}{x}(u^{n+\frac{1}{2}}\psi ^{n})$ $\textstyle =$ $\displaystyle -\DP{}{x}(u^{n}\psi ^{n})
-\frac{1}{2}\Delta t \DP{}{x}\left(\psi
\left.\DP{u}{t}\right)\right\vert^{n} + O(\Delta t^{2})$ (45)

これらを(43)に代入すると,


\begin{displaymath}
\left.\DP{\psi }{t}\right\vert^{n} =
-\DP{}{x}(u^{n}\psi^{...
...}
\DP{\psi ^{n}}{x}\right)\right\vert^{n}+ O(\Delta t^{2}),
\end{displaymath} (46)

となる. 右辺第 1 項を上流差分で空間方向に差分化すると(8) が求まる.

以上より速度場が非定常な場合には時刻 $t+\Delta t/2$ における速度場を用いて 計算すればよいことがわかる. $u^{n+\frac{1}{2}}$ は,


\begin{displaymath}
u^{n+\frac{1}{2}}=\frac{u^{n}+u^{n+1}}{2}+O(\Delta t^{2})
\end{displaymath}

等として求めてやればよい.



Odaka Masatsugu 平成18年2月10日