\documentclass[a4j,12pt,dvipdfmx]{jarticle}
\usepackage{amsmath,D6math,D6misc}

\Dparskip
\Dnoparindent

\begin{document}

\begin{center}
  \Large\bf
    球面 $\sigma$ 座標系での\\ Transformed Euleriran Mean 方程式系について
\end{center}

\begin{flushright}
  \large
  2026 年 10 月 10 日 竹広 真一
\end{flushright}

この文書では, 
経度 $\lambda$, 緯度 $\varphi$, 動径 $\sigma$ からなる
球面 $\sigma$ 座標系での
Transformed Euleriran Mean (TEM) 方程式を構成する.

\section{支配方程式}

連続の式, 運動方程式経度成分, 熱力学の式は,
%
\begin{align}
  &
    \DD{\pi}{t} + \nabla_H\cdot \Dvect{v}_H + \DP{\dot\sigma}{\sigma} = 0, 
  \\
  & 
    \DD{u}{t} - fv - \frac{uv}{a}\tan\varphi
    = -\frac{1}{a\cos\varphi}\DP{\Phi}{\lambda}
      - \frac{RT}{a\cos\varphi}\DP{\pi}{\lambda} + {\cal F}_\lambda,
  \\
  &
    \DD{T}{t} = \frac{RT}{C_p}
    \left( \DP{\pi}{t} + \Dvect{v}_H\cdot\Dgrad\pi +
    \frac{\dot\sigma}{\sigma}\right) + \frac{Q}{C_p}.
\end{align}
%
ここで $\pi=\log p_s$,
$d/dt$ は $\sigma$ 系でのラグランジュ微分であり,
%
\begin{align}
  \DD{}{t} \equiv \DP{}{t} + \Dvect{v}_H\cdot\Dgrad_H + \dot\sigma\DP{}{\sigma}
  = \DP{}{t} + \frac{u}{a\cos\varphi}\DP{}{\lambda}
  + \frac{v}{a}\DP{}{\varphi} + \dot\sigma\DP{}{\sigma}.
\end{align}
%
ただし $\Dvect{v}_H=(u,v)$ は速度経度, 緯度成分である. 
\subsubsection{TEM を構成するための方程式系}

TEM の導出のために支配方程式を変形する.
連続の式に $p_s$ をかけて変形すると, 
%
\begin{align}
  \DP{p_s}{t} + \nabla_H\cdot(p_s\Dvect{v}_H)
  + \DP{}{\sigma}(p_s\dot\sigma) = 0.
\end{align}

熱力学の式は, 元々,
%
\begin{align}
    \DD{T}{t} = \frac{1}{C_p\rho}\DP{p}{t} + \frac{Q}{C_p}
\end{align}
%
であるから, 温位 $\theta = T(p_0/p)^\kappa$ を導入して,
%
\begin{align}
  \DD{}{t} \log\theta = \frac{Q}{C_pT},
  \quad \DD{s}{t}  = \frac{Q}{T}.
\end{align}
%
ここで $s=C_p\log\theta$ はエントロピーである.
さらに連続の式を適用して,
\begin{align}
  \DP{}{t}(p_s s) + \frac{1}{a\cos\varphi}\DP{}{\lambda}(p_s s u)
  + \frac{1}{a\cos\varphi}\DP{}{\lambda}(p_s s v\cos\varphi)
  + \DP{}{\sigma}(p_s s \dot\sigma)  = p_s\frac{Q}{T}.
\end{align}

最後に角運動量保存則を導く. 運動方程式経度成分に $p_s a \cos\varphi$ を
かけて変形すると
\footnote{
  左辺に $a\cos\varphi$ をかけると, 
  %
  \begin{align*}
    &
      \DP{}{t}(ua\cos\varphi)
      + u\DP{u}{\lambda}
      + v\cos\varphi\DP{u}{\varphi}
      + - uv\sin\varphi 
      + 2va\Omega\sin\varphi\cos\varphi
      + \dot\sigma\DP{}{\sigma}(ua\cos\varphi)
    \\
    &
      = \DP{}{t}(ua\cos\varphi)
      + u\DP{u}{\lambda}
      + \frac{v}{a}\DP{}{\varphi}(ua\cos\varphi)
      + \frac{v}{a}\DP{}{\varphi} (\Omega a^2\cos^2\varphi)
      + \dot\sigma\DP{}{\sigma}(ua\cos\varphi).
  \end{align*}
  %
  更に $p_s$ をかけて連続の式を用いると,
  %
  \begin{align*}
    &
     \DP{}{t}(p_s ua\cos\varphi)
      + \frac{1}{a\cos\varphi}\DP{}{\lambda}(p_s u^2a \cos\varphi)
      + \frac{1}{a\cos\varphi}\DP{}{\varphi} (p_s ua\cos\varphi)v \cos\varphi
      \\&
      + \frac{1}{a\cos\varphi}\DP{}{\varphi}(p_s\Omega a^2\cos^2\varphi)v \cos\varphi
      + \DP{}{\sigma}(p_s ua\cos\varphi \dot\sigma)
    \\
    &
      = \DP{p_s m}{t}
      + \nabla_H\cdot(m p_s\Dvect{v}_H)
      + \frac{1}{a\cos\varphi}\DP{}{\varphi}(m_p p_sv \cos\varphi)
      + \DP{}{\sigma}(m p_s\dot\sigma)
  \end{align*}
  %
  ただし $m=ua\cos\varphi$ は局所角運動量, 
  $m_p = \Omega a^2\cos^2\varphi$ は惑星角運動量である.
}
%
\begin{align}
  &
  \DP{p_s m}{t}
  + \nabla_H\cdot(m p_s\Dvect{v}_H)
  + \frac{1}{a\cos\varphi}\DP{}{\varphi}(m_p p_sv \cos\varphi)
  + \DP{}{\sigma}(m p_s\dot\sigma)
  \nonumber\\
  &= -p_s\DP{\Phi}{\lambda}
  - RT\DP{p_s}{\lambda} + p_sa\cos\varphi{\cal F}_\lambda,
\end{align}
%
ただし $m=ua\cos\varphi$ は局所角運動量, 
$m_p = \Omega a^2\cos^2\varphi$ は惑星角運動量である.

経度平均を施すと,
%
\begin{align}
  &
    \DP{\overline{p_s}}{t}
    + \frac{1}{a\cos\varphi}\DP{}{\varphi}
    ( \overline{p_sv}\cos\varphi)
    + \DP{}{\sigma}(\overline{p_s\dot\sigma}) = 0,
  \\
  &
  \DP{\bar{m}}{t}
  + \nabla_H\cdot(\overline{m \Dvect{v}_H})
  + \frac{1}{a\cos\varphi}\DP{}{\varphi}(\overline{m_p v} \cos\varphi)
  + \DP{}{\sigma}(\overline{m\dot\sigma})
    = - \overline{p_s\DP{\Phi}{\lambda}}
      - \overline{RT\DP{p_s}{\lambda}}
      +\overline{p_sa\cos\varphi{\cal F}_\lambda},
  \\
  &
    \DP{}{t}(\overline{p_s s})
    + \frac{1}{a\cos\varphi}\DP{}{\varphi}(\overline{p_s s v}\cos\varphi)
    + \DP{}{\sigma}(\overline{p_s s \dot\sigma})  = \overline{p_s\frac{Q}{T}}.
\end{align}
%
$p_s v = V$, $p_s \dot\sigma = W$ と表し,
平均と擾乱に分離して
$u = \bar{u}+u'$, $s = \bar{s}+s'$, 
$V = \bar{V}+V'$, $W = \bar{W}+W'$ と表す.
ただし $'$ 量は経度平均が 0 である. すると, 
%
\begin{align}
  &
    \DP{\overline{p_s}}{t}
    + \frac{1}{a\cos\varphi}\DP{}{\varphi}
    ( \overline{V}\cos\varphi)
    + \DP{}{\sigma}(\overline{W}) = 0,
  \\
  &
    \DP{\overline{p_s m}}{t}
    + \frac{1}{a\cos\varphi}\DP{}{\varphi}(\bar{m}\bar{V}\cos\varphi)
    + \DP{}{\sigma}(\overline{m}\bar{W}) 
    + \frac{1}{a\cos\varphi}\DP{}{\varphi}(m_p\bar{V}\cos\varphi)
   \nonumber\\
    & =
    - \frac{1}{a\cos\varphi}\DP{}{\varphi}(\overline{m'V'}\cos\varphi)
    - \DP{}{\sigma}(\overline{m'W'}) 
    - \overline{p_s\DP{\Phi}{\lambda}}
      - \overline{RT\DP{p_s}{\lambda}}
      +\overline{p_sa\cos\varphi{\cal F}_\lambda},
  \\
  &
    \DP{}{t}(\overline{p_s s})
    + \frac{1}{a\cos\varphi}\DP{}{\varphi}(\bar{s}\bar{V}\cos\varphi)
    + \DP{}{\sigma}(\bar{s}\bar{W})
    =
    - \frac{1}{a\cos\varphi}\DP{}{\varphi}(\overline{s'V'}\cos\varphi)
    - \DP{}{\sigma}(\overline{s'W'})
    + \overline{p_s\frac{Q}{T}}.
\end{align}

以下では簡単のため, 連続の式の第 1 項の時間変化が無視できるとする.
すなわち, $\Ddsty \DP{\overline{p_s}}{t}=0$ として扱うと,
%
\begin{align}
  &
    \frac{1}{a\cos\varphi}\DP{}{\varphi}
    ( \overline{V}\cos\varphi)
    + \DP{}{\sigma}(\overline{W}) = 0,
  \\
  &
    \DP{\overline{p_s m}}{t}
    + \frac{\bar{V}}{a}\DP{}{\varphi}(\bar{m}+m_p)
    + \bar{W}\DP{\bar{m}}{\sigma}
   \nonumber\\
    & =
    - \frac{1}{a\cos\varphi}\DP{}{\varphi}(\overline{m'V'}\cos\varphi)
    - \DP{}{\sigma}(\overline{m'W'}) 
    - \overline{p_s\DP{\Phi}{\lambda}}
      - \overline{RT\DP{p_s}{\lambda}}
      +\overline{p_sa\cos\varphi{\cal F}_\lambda},
  \\
  &
    \DP{}{t}(\overline{p_s s})
    + \frac{\bar{V}}{a}\DP{\bar{s}}{\varphi}
    + \bar{W}\DP{\bar{s}}{\sigma}
    =
    - \frac{1}{a\cos\varphi}\DP{}{\varphi}(\overline{s'V'}\cos\varphi)
    - \DP{}{\sigma}(\overline{s'W'})
    + \overline{p_s\frac{Q}{T}}.
\end{align}
%
%----------------------------------------
%
\section{TEM の導出}

TEM 方程式を構成するために, エネルギー方程式の渦フラックス項 $\varphi$ 成分を
残差循環(Residual Circulation)として取り込むことから始める.
すなわち,
%
\begin{align}
  \bar{V}^*
  = \bar{V} - \DP{}{\sigma}\left(\frac{\overline{s'V'}}{\bar{s}_\sigma}\right),
  \quad
  \bar{W}^*
  = \bar{W} + \frac{1}{a\cos\varphi}\DP{}{\varphi}
                \left(\cos\varphi\frac{\overline{s'V'}}{\bar{s}_\sigma}\right).
\end{align}
%
この残差循環 $(\bar{V}^*, \bar{V}^*)$ は連続の式を満たしている.
%
\begin{align}
      \frac{1}{a\cos\varphi}\DP{}{\varphi}(\bar{V}^*\cos\varphi)
    + \DP{\bar{W}^*}{\sigma} = 0.
\end{align}
% 
残差質量流線関数 $\Psi^*$ を次のように導入すると
%
\begin{align}
  \bar{V}^* = -\frac{g}{2\pi a \cos\varphi}\DP{\Psi^*}{\sigma},
  \quad
  \bar{W}^* = \frac{g}{2\pi a^2\cos\varphi}\DP{\Psi^*}{\varphi},
  \quad
  \Psi^* = - \frac{2\pi a \cos\varphi}{g}\int_0^\sigma \bar{V}^*d\sigma
\end{align}
%
エネルギー方程式は次のようになる
\footnote{
  右辺を構成する際の計算は
  \begin{align*}
    &
      - \frac{\bar{s}_\varphi}{a}\DP{}{\sigma}\left(\frac{\overline{s'V'}}{\bar{s}_\sigma}\right)
      + \frac{\bar{s}_\sigma}{a\cos\varphi}\DP{}{\varphi}\left(\cos\varphi\frac{\overline{s'V'}}{\bar{s}_\sigma}\right)
    \\
    &
    = - \frac{1}{a}\DP{}{\sigma}\left(\bar{s}_\varphi\frac{\overline{s'V'}}{\bar{s}_\sigma}\right)
      + \frac{\overline{s'V'}}{a\bar{s}_\sigma}\DP{\bar{s}_\varphi}{\sigma}
      + \frac{1}{a\cos\varphi}\DP{}{\varphi}\left(\bar{s}_\sigma\cos\varphi\frac{\overline{s'V'}}{\bar{s}_\sigma}\right)
      - \frac{\overline{s'V'}}{\bar{s}_\sigma}\frac{1}{a}\DP{\bar{s}_\sigma}{\varphi}
    \\
    &
    = - \frac{1}{a}\DP{}{\sigma}\left(\bar{s}_\varphi\frac{\overline{s'V'}}{\bar{s}_\sigma}\right)
      + \frac{1}{a\cos\varphi}\DP{}{\varphi}\left(\cos\varphi\overline{s'V'}\right)
    % \\
    % &
    % = - \frac{1}{r^2}\DP{}{r}\left(r\bar{T}_\varphi\frac{\overline{T'v'}}{\bar{T}_r}\right)
    %   + \frac{\overline{T'v'}}{\bar{T}_r}\frac{\bar{T}_{r\varphi}}{r}
    %   + \frac{1}{r\cos\varphi}\DP{}{\varphi}(\cos\varphi\overline{T'v'})
    %   - \frac{\overline{T'v'}}{\bar{T}_r}\frac{\bar{T}_{r\varphi}}{r}
    % \\
    % &
    % = - \frac{1}{r^2}\DP{}{r}\left(r\bar{T}_\varphi\frac{\overline{T'v'}}{\bar{T}_r}\right)
    %   + \frac{1}{r\cos\varphi}\DP{}{\varphi}(\cos\varphi\overline{T'v'})
  \end{align*}
}. 
% 
\begin{align}
  \DP{\overline{p_ss}}{t}
  + \frac{\bar{V}^*}{a}\DP{\bar{s}}{\varphi}
  + \bar{W}^*\DP{\bar{s}}{\sigma}
  = - \DP{}{\sigma}
       \left(\overline{s'W'} - \bar{s}_\varphi\frac{\overline{s'V'}}{\bar{s}_\sigma}\right)
    + \overline{p_s\frac{Q}{T}}.
\end{align}
%
角運動量保存則を残差循環 $\bar{V}^*$, $\bar{W}^*$ で表すと
\footnote{
  残差循環で表すことによる角運動量保存則の右辺への寄与を計算すると,
  %
  \begin{align*}
    &
      - \frac{1}{a}\DP{}{\varphi}(\bar{m}+m_p)
           \DP{}{\sigma}\left(\frac{\overline{s'V'}}{\bar{s}_\sigma}\right)
      + \DP{\bar{m}}{\sigma}
           \frac{1}{a\cos\varphi}\DP{}{\varphi}
                \left(\cos\varphi\frac{\overline{s'V'}}{\bar{s}_\sigma}\right)
    \\
    &
    = -\DP{}{\sigma}\left[
          \frac{1}{a}\DP{}{\varphi}(\bar{m}+m_p)
              \left(\frac{\overline{s'V'}}{\bar{s}_\sigma}\right)\right]
      + \left(\frac{\overline{s'V'}}{\bar{s}_\sigma}\right)
           \DP{}{\sigma}\frac{1}{a}\DP{}{\varphi}(\bar{m}+m_p)
      \\&\quad 
      + \frac{1}{a\cos\varphi}\DP{}{\varphi}\left[\DP{\bar{m}}{\sigma}
           \left(\cos\varphi\frac{\overline{s'V'}}{\bar{s}_\sigma}\right)\right]
      - \left(\cos\varphi\frac{\overline{s'V'}}{\bar{s}_\sigma}\right)
          \frac{1}{a\cos\varphi}\DP{}{\varphi}\DP{\bar{m}}{\sigma}
    \\
    &
    = -\DP{}{\sigma}\left[
          \frac{1}{a}\DP{}{\varphi}(\bar{m}+m_p)
              \left(\frac{\overline{s'V'}}{\bar{s}_\sigma}\right)\right]
      + \frac{1}{a\cos\varphi}\DP{}{\varphi}\left[\DP{\bar{m}}{\sigma}
           \left(\cos\varphi\frac{\overline{s'V'}}{\bar{s}_\sigma}\right)\right].
  \end{align*}
}, 
%
\begin{align}
  &
    \DP{\overline{p_s m}}{t}
    + \frac{\bar{V}^*}{a}\DP{}{\varphi}(\bar{m}+m_p)
    + \bar{W^*}\DP{\bar{m}}{\sigma}
    = \nabla_H\cdot \Dvect{{\cal F}}
      - \overline{p_s\DP{\Phi}{\lambda}}
      - \overline{RT\DP{p_s}{\lambda}}
       +\overline{p_sa\cos\varphi{\cal F}_\lambda},
  \\
  & \Dvect{{\cal F}} = ({\cal F}_\varphi, {\cal F}_\sigma),
  \\
  &
    {\cal F}_\varphi
    = -\overline{m'V'}
       + \DP{\bar{m}}{\sigma}
           \left(\frac{\overline{s'V'}}{\bar{s}_\sigma}\right), 
    \quad
    {\cal F}_\sigma
    = -\overline{m'W'}
      - \frac{1}{a}\DP{}{\varphi}(\bar{m}+m_p)
          \left(\frac{\overline{s'V'}}{\bar{s}_\sigma}\right).
\end{align}


\section{確認のための例題}

\subsection{基本場}

表面圧力は一定一様 $p_s$とする.

帯状平均エントロピーは $\sigma$ の 1 次関数,
擾乱が鉛直一様の $Y_1^1 = \cos\varphi\cos\lambda$ を与える.
%
\begin{align}
  s = s_0 + \Gamma\sigma + s_1 \cos\varphi\cos\lambda, 
\end{align}
%
これを温度に変換すると,
$s = C_p\log\theta
= C_p\log T\left(\frac{p_0}{p_s}\right)^{\kappa}
= C_p\log T\sigma^{-\kappa}$ より, 
%
\begin{align}
  T = \sigma^\kappa \exp\left(\frac{s}{C_p}\right)
    = \sigma^\kappa \exp\left[\frac{1}{C_p}(s_0 + \Gamma\sigma + s_1 \cos\varphi\cos\lambda)\right].
\end{align}
%
$\sigma=1$ での平均温度を $T_0$ とすれば, 
%
\begin{align}
  T = \sigma^\kappa \exp\left(\frac{s}{C_p}\right)
    = T_0\sigma^\kappa \exp\left\{\frac{1}{C_p}[\Gamma(\sigma-1) + s_1 \cos\varphi\cos\lambda]\right\}.
\end{align}
%
帯状速度場は次のような鉛直シアーを持つ場合を考える. 
%
\begin{align}
  u = u_0\sigma\cos\varphi.
\end{align}

\subsection{帯状循環場}

残差循環第 1 項のチェックのため, 帯状擾乱速度場を次のように与える. 
%
\begin{align}
  T &=0
  \\
  u & = 0, \quad
  v  = v_0 \sin 2\varphi \cos(\pi\sigma), \quad
  \dot\sigma & = w_0(1-3\sin^2\varphi) \sin(\pi\sigma).
\end{align}
%
このとき 
%
\begin{align}
  \frac{\overline{s'V'}}{\overline{s}_\sigma} = 0, 
  v' = w' = 0, 
\end{align}
%
であるから,
\begin{align}
  V^* &= p_s v_0 \sin 2\varphi \cos(\pi\sigma), \quad
        W^*  = p_sw_0(1-3\sin^2\varphi) \sin(\pi\sigma),
  \\
  \Psi^* &= - \frac{2 a p_sv_0}{g}\sin 2\varphi\cos\varphi\sin(\pi\sigma),
  \\
  {\cal F}_\varphi &=   {\cal F}_\sigma = 0.
\end{align}

\subsection{波擾乱その 1}

EP フラックス第 1 項のチェックのため, 波擾乱速度場を次のように与える. 
%
\begin{align}
  T &= 0, \\
  u & = u_1\sin^2 2\varphi\cos\lambda \cos(\pi\sigma), \\
  v & = v_1 \sin 2\varphi\cos\lambda \cos(\pi\sigma), \\
  \dot\sigma & = w_1\cos\varphi\cos\lambda \sin(\pi\sigma).
\end{align}
%
このとき 
%
\begin{align}
  \frac{\overline{s'V'}}{\overline{s}_\sigma} &= 0,
  \quad
  m' = u'a \cos\varphi = u_1a\sin^2 2\varphi\cos\varphi\cos\lambda \cos(\pi\sigma),
\end{align}
%
であるから,
%
\begin{align}
  V^* &= W^* = \Psi^* = 0,
  \\
  {\cal F}_\varphi
      &=  -\overline{m'V'}
       = \frac{p_sa u_1v_1}{2}\sin^32\varphi\cos\varphi\cos^2(\pi\sigma),
  \\
  {\cal F}_\sigma
      &= -\overline{m'W'}
       = \frac{p_s a u_1w_1}{4}\sin^22\varphi\cos^2\varphi\sin(2\pi\sigma),
\end{align}
  

\subsection{波擾乱その 2}

残差循環第 2 項, および
EP フラックス第 2 項のチェックのため, 擾乱場を次のように与える. 
%
\begin{align}
  T &= \sigma^\kappa \exp\left[\frac{1}{C_p}(s_1 \cos\varphi\cos 2\lambda)\right],
  \\
  u & = 0, \quad
  v  = v_1 \sin 2\varphi\cos 2\lambda \cos(\pi\sigma), \quad
  \dot\sigma & = 0.
\end{align}
%
このとき, 
%
\begin{align}
  \frac{\overline{s'V'}}{\overline{s}_\sigma}
  &= \frac{p_ss_1v_1}{\Gamma}\sin\varphi\cos^2\varphi\cos(\pi\sigma),
  \\
  m &= u_0 a \sigma\cos^2\varphi,
  \quad
  \DP{m}{\sigma} = u_0 a \cos^2\varphi,
  \quad
  \frac{1}{a}\DP{m}{\varphi} = -2u_0\sigma\cos\varphi\sin\varphi,
  \\
  m_p &= \Omega a^2\cos^2\varphi,
        \quad
  \frac{1}{a}\DP{m_p}{\varphi} = -2a\Omega\cos\varphi\sin\varphi,
\end{align}
%
であるから,
%
\begin{align}
  V^* &= \frac{\pi p_ss_1v_1}{\Gamma}\sin\varphi\cos^2\varphi\sin(\pi\sigma),
  \\
  W^* &= \frac{p_ss_1v_1}{a\Gamma}\cos^2\varphi(1-4\sin^2\varphi)\cos(\pi\sigma),
  \\
  \Psi^* &= \frac{2\pi a p_ss_1v_1}{g\Gamma}\sin\varphi\cos^3\varphi[\cos(\pi\sigma)-1]
  \\
  {\cal F}_\varphi
      &= \frac{u_o a p_ss_1v_1}{\Gamma}\sin\varphi\cos^4\varphi \cos(\pi\sigma),
  \\
  {\cal F}_\sigma
      &= \frac{2u_op_ss_1v_1}{\Gamma}\sin^2\varphi\cos^3\varphi (u_0\sigma+\Omega a)\cos(\pi\sigma).
\end{align}

\end{document}

%%% Local Variables:
%%% mode: japanese-latex
%%% TeX-master: t
%%% End: