% 表題   dcpam5-primitive 力学過程の支配方程式の導出 -- 球座標への変換
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% 履歴 
%\Drireki{2008/06/17 森川靖大}
%\Drireki{1994/04/13 石渡正樹}
%\Drireki{1997/04/15 赤堀浩司}
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\section{球座標への変換}

\subsection{直交曲線座標系における微分}

一般の直交曲線座標 $(\xi_1, \xi_2, \xi_3)$ において, スカラー 
$\bullet$ およびベクトル $\Dvect{A}=(A_1, A_2, A_3)$ は次のように表現
される. なお, $h_i$ は各軸方向の規模因子であり, 各軸方向の基底ベクトル
は $\Dvect{e}_i$ とする.
\begin{align}
  \Dgrad \bullet
& = \left( \frac{1}{h_1} \DP{\bullet}{\xi_1},
           \frac{1}{h_2} \DP{\bullet}{\xi_2}, 
           \frac{1}{h_3} \DP{\bullet}{\xi_3} \right),
  \\
  \Ddiv \Dvect{A} 
& = \frac{1}{h_1 h_2 h_3} 
    \left[ \DP{}{\xi_1} ( h_2 h_3 A_1)
           +  \DP{}{\xi_2} ( h_1 h_3 A_2)
           +  \DP{}{\xi_3} ( h_1 h_2 A_3)
    \right],
  \\
    \nabla^2 \bullet 
& = \frac{1}{h_1 h_2 h_3} 
    \left[  \DP{}{\xi_1} 
              \left( \frac{h_2 h_3}{h_1} \DP{\bullet}{\xi_1} \right)
           + \DP{}{\xi_2}
              \left( \frac{h_1 h_3}{h_2} \DP{\bullet}{\xi_2} \right)
           + \DP{}{\xi_3}
              \left( \frac{h_1 h_2}{h_3} \DP{\bullet}{\xi_3} \right)
    \right],
  \\
  \Drot \Dvect{A}
& = \left(  \frac{1}{h_2 h_3}
            \left[ \DP{(h_3 A_3)}{\xi_2}  - \DP{(h_2 A_2)}{\xi_3}  \right],
            \frac{1}{h_3 h_1}
            \left[ \DP{(h_1 A_1)}{\xi_3}  - \DP{(h_3 A_3)}{\xi_1}  \right],
    \right.\nonumber \\
&   \left.  \frac{1}{h_1 h_2}
            \left[ \DP{(h_2 A_2)}{\xi_1}  - \DP{(h_1 A_1)}{\xi_2}  \right]
   \right),
  \\
  \DD{\bullet}{t} 
& = \DP{\bullet}{t}
    + \frac{v_1}{h_1} \DP{\bullet}{\xi_1}
    + \frac{v_2}{h_2} \DP{\bullet}{\xi_2}
    + \frac{v_3}{h_3} \DP{\bullet}{\xi_3},
  \\
  \DD{\Dvect{v}}{t}
& =  \sum^3_{k=1} \Dvect{e}_k
      \left[ \DP{v_k}{t}
       + \sum^3_{j=1} \frac{v_k}{h_k} \DP{v_k}{\xi_j}
       + \left( -\frac{v_j}{h_j} \frac{1}{h_k} \DP{h_j}{\xi_k}
          +\frac{v_k}{h_k} \frac{1}{h_j} \DP{h_k}{\xi_j} \right) v_j
      \right].
\end{align}

\subsection{球座標系における微分}

重力加速度 $\Dvect{g}$ が惑星中心を向いているとみなして, 方程式系を球
座標 $(\xi_1, \xi_2, \xi_3) = (\lambda, \varphi, r)$ に変換する. 回転
系に固定した直交直線座標 $(x_1, x_2, x_3)$ との関係は
    \begin{align}
       x_1 & = r \cos \varphi \cos \lambda, \\
       x_2 & = r \cos \varphi \sin \lambda, \\
       x_3 & = r \sin \varphi
    \end{align}
である. ここで, $\lambda$ は緯度, $\varphi$ は経度, $r$ は鉛直座標であ
る. また, 基底ベクトルを $(\Dvect{e}_{\lambda}, \Dvect{e}_{\varphi},
\Dvect{e}_{r})$, 速度ベクトルを $(u, v, w)$ で表す. 

各方向の規格化因子 (scale factor) は
    \begin{align}
      h_\lambda = r \cos \varphi, \ \ h_\varphi = r, \ \ h_r = 1.
    \end{align}
したがって, スカラー $\bullet$ およびベクトル 
$\Dvect{A}=(A_{\lambda}, A_{\varphi}, A_r)$ に関する微分表現は次のよう
になる. 
    \begin{align}
      \Dgrad \bullet
    & = \Dvect{e}_{\lambda} \frac{1}{r \cos \varphi} \DP{\bullet}{\lambda}
      + \Dvect{e}_{\varphi} \frac{1}{r} \DP{\bullet}{\varphi}
      + \Dvect{e}_r \DP{\bullet}{r}, 
      \\
      \Ddiv \Dvect{A} 
    & = \frac{1}{r^2 \cos \varphi} 
        \left[ r \DP{A_{\lambda}}{\lambda}
               + r \DP{}{\varphi} ( \cos \varphi A_{\varphi})
               +  \cos \varphi  \DP{}{r} ( r^2 A_r )
        \right],
      \\
        \nabla^2 \bullet 
    & = \frac{1}{r^2 \cos \varphi} 
        \left[   \DP{}{\lambda} \left( \frac{1}{\cos \varphi}
               \DP{\bullet}{\lambda}\right) 
               + \DP{}{\varphi} \left( \cos \varphi \DP{\bullet}{\varphi} \right)
               + \DP{}{r} \left( r^2 \cos \varphi  \DP{\bullet}{r} \right)
        \right],
      \\
     \begin{split}
       \Drot \Dvect{A}
     & = \quad
           \Dvect{e}_{\lambda} \frac{1}{r}
                \left[ \DP{A_r}{\varphi} - \DP{}{r}(r A_{\varphi})
           \right] \\
     & \quad
        + \Dvect{e}_{\varphi} \frac{1}{r \cos \varphi}
                \left[ \DP{}{r} (r \cos \varphi A_{\lambda}) -
                \DP{A_r}{\lambda} \right]  \\
     & \quad
        + \Dvect{e}_r \frac{1}{r \cos \varphi}
                \left[ \DP{A_{\varphi}}{\lambda} - \DP{}{\varphi} (\cos
               \varphi A_{\lambda}) \right], 
     \end{split}      
      \\
      \DD{\bullet}{t} 
     & =   \DP{\bullet}{t} + \frac{u}{r \cos \varphi} \DP{\bullet}{\lambda}
         + \frac{v}{r} \DP{\bullet}{\varphi}  + w \DP{\bullet}{r},
      \\
     \begin{split}
       \DD{\Dvect{A}}{t}
     & = \quad
         \Dvect{e}_{\lambda} \left[
         \DP{A_{\lambda}}{t} + \frac{u}{r \cos \varphi} \DP{A_{\lambda}}{\lambda}
        + \frac{v}{r} \DP{A_{\lambda}}{\varphi} + w \DP{A_{\lambda}}{r}
        + \frac{u}{r} A_r - \frac{u \tan \varphi}{r} A_{\varphi} \right]
        \\
     & \quad
        + \Dvect{e}_{\varphi} \left[
         \DP{A_{\varphi}}{t} + \frac{u}{r \cos \varphi} \DP{A_{\varphi}}{\lambda}
        + \frac{v}{r} \DP{A_{\varphi}}{\varphi} + w \DP{A_{\varphi}}{r}
        + \frac{v}{r} A_r + \frac{u \tan \varphi}{r} A_{\lambda} \right]
        \\
     & \quad
        + \Dvect{e}_r \left[
         \DP{A_r}{t} + \frac{u}{r \cos \varphi} \DP{A_r}{\lambda}
        + \frac{v}{r} \DP{A_r}{\varphi} + w \DP{A_r}{r}
        - \frac{v}{r} A_{\varphi} - \frac{u}{r} A_{\lambda} \right].
     \end{split}    
    \end{align}

\subsection{球座標への変換}

コリオリ項の表現は次のようになる.
    \begin{align}
     \begin{split}
             2 \Dvect{\Omega} \times \Dvect{v}
     & =    2 \Omega ( \Dvect{e}_{\varphi} \cos \varphi
                       + \Dvect{e}_r \sin \varphi)
            \times ( u \Dvect{e}_{\lambda} + v \Dvect{e}_{\varphi}
                     + w \Dvect{e}_r) \\
     & =   ( 2 \Omega \cos \varphi w - 2 \Omega \sin \varphi v) \Dvect{e}_{\lambda}
           + 2 \Omega \sin \varphi u \Dvect{e}_{\varphi}
           - 2 \Omega \cos \varphi u \Dvect{e}_r.
     \end{split}    
    \end{align}
したがって, 運動方程式は
    \begin{align}
              \DD{u}{t} 
      & =   - \frac{1}{\rho r \cos \varphi } \DP{p}{\lambda} 
            +  2 \Omega v \sin \varphi 
            -  2 \Omega w \cos \varphi
            +  \frac{u v}{r} \tan \varphi 
            -  \frac{u w}{r}
            + {\cal F}_\lambda,  \\
%
              \DD{v}{t} 
      & =   - \frac{1}{\rho r} \DP{p}{\varphi} 
            - 2 \Omega u \sin \varphi 
            - \frac{u^2}{r} \tan \varphi 
            - \frac{v w}{r}
            + {\cal F}_\varphi, \\
%
              \DD{w}{t} 
      & =   - \frac{1}{\rho} \DP{p}{r} -g 
            + 2 \Omega u \cos \varphi 
            + \frac{u^2}{r}
            + \frac{v^2}{r}
            + {\cal F}_r.
    \end{align}
連続の式は
    \begin{align}
      \Dinv{\rho} \DD{\rho}{t} 
      + \frac{1}{r \cos \varphi} \DP{}{\lambda} ( u)
      + \frac{1}{r \cos \varphi} \DP{}{\varphi} ( \cos \varphi v)
      + \frac{1}{r^2} \DP{}{r} ( r^2 w )
      = 0.
    \end{align}
熱力学の式は
    \begin{align}
      \DD{}{t} T = \frac{1}{C_p \rho} \DD{p}{t} + \frac{Q^*}{C_p}.
    \end{align}
状態方程式は
    \begin{align}
      p = \rho RT.
    \end{align}
ここで, 
    \begin{align}
      \DD{}{t}
         = \DP{}{t}
         + \frac{u}{r \cos \varphi} \DP{}{\lambda}
         + \frac{v}{r} \DP{}{\varphi}
         + w \DP{}{r}
    \end{align}
である. 
