next up previous
: 2. 参考文献 : 湿潤大気における 2 次元非静力学モデルの定式化 : 目次


1. 基礎方程式系

本数値モデルは水平・鉛直の 2 次元モデルである. 水平方向の座標変数を $x$, 鉛直方向の座標変数を $z$ と表し, 時間方向の変数は $t$ と表す.

1.1 運動方程式・圧力方程式・熱の式・比湿の保存式

力学的な枠組みは, 準圧縮方程式系(Klemp and Wilhelmson,1978)を用いる. この方程式系では, 予報変数を水平一様な基本場とそこからのずれに分離し, 方程式の線形化を行っている. 基本場は静水圧平衡の状態にあるものと仮定する. またガスは理想気体とみなせるものとする. 準圧縮方程式系の導出は付録 A に示す. 方程式中の変数は付録 D に示す.

Klemp and Wilhelmson(1978) では凝結性ガスや凝結物を混合比で表現している のに対し, 本モデルでは比湿で表現している. 但し本ドキュメントにおける比湿とは, 通常の気象学で用いられている比湿を拡 張し, 全密度に対する任意のガスや凝結物の密度の比を指すものとする. 主成分が凝結する惑星大気を扱う際, 非凝結ガスの密度を分母とする混合比を用 いると数値計算上の困難が生じる可能性がある. このことは様々な惑星大気を扱うことを目的とする本モデルにとって大きな問題 となりうる. そこで本モデルでは微量成分が凝結する系だけでなく, 主成分が凝結する系での 計算も行なえるよう, 凝結ガスや凝結物を比湿で表現することにする.

本モデルでは非凝結性ガス, 凝結性ガス, 雲水, 雨水(氷)の 4 つのカテゴリー を想定している.

記号 意味 内容
$q_{d}$ 非凝結性ガスの比湿 気体の非凝結成分
$q_{v}$ 凝結性ガスの比湿 気体の凝結成分
$q_{c}$ 雲水比湿 落下速度がゼロである粒子で,
    大気中の雲粒に対応する.
    通常 100 $\mu$m 以下の微小な流体粒子である.
$q_r$ 雨水比湿 有意な落下速度を持つ粒子で,
    大気中の雨粒または氷粒に対応する.

$\rho_d$, $\rho_v$, $\rho_c$, $\rho_r$, $\rho$ をそれぞれ非凝結成分の密 度, 凝結成分の密度, 雲水の密度, 雨水の密度, 全密度とすると, 各カテゴリー の比湿は以下のように定義される.

$\displaystyle q_{d}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{\rho_d}{\rho},$ (1.1)
$\displaystyle q_{v}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{\rho_v}{\rho},$ (1.2)
$\displaystyle q_{c}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{\rho_c}{\rho},$ (1.3)
$\displaystyle q_r$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{\rho_r}{\rho}.$ (1.4)

各変数を基本場と擾乱場に分け, 基本場の風速 $w$, 雲水比湿と雨水比湿がゼロ であるとみなす. また基本場において, 静水圧平衡

$\displaystyle \DP{\overline{\Pi}}{z}
= - \frac{g}{\langle c_p \rangle \overline{\theta_v}}$     (1.5)

が成り立つと仮定する. このとき各変数は以下のように書ける.
$\displaystyle u (x,z,t)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \overline{u} (z) + u^{\prime} (x,z,t),$  
$\displaystyle w (x,z,t)$ $\textstyle =$ $\displaystyle w^{\prime} (x,z,t),$  
$\displaystyle \theta (x,z,t)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \overline{\theta} (z) + \theta^{\prime} (x,z,t),$  
$\displaystyle \Pi (x,z,t)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \overline{\Pi} (z) + \Pi^{\prime} (x,z,t),$  
$\displaystyle q_d (x,z,t)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \overline{q_d} (z) +
{q_d}^{\prime} (x,z,t),$  
$\displaystyle q_v (x,z,t)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \overline{q_v} (z) +
{q_v}^{\prime} (x,z,t),$  
$\displaystyle q_c (x,z,t)$ $\textstyle =$ $\displaystyle {q_c}^{\prime} (x,z,t),$  
$\displaystyle q_r (x,z,t)$ $\textstyle =$ $\displaystyle {q_r}^{\prime} (x,z,t).$  

以下に準圧縮方程式系の時間発展方程式を一覧する. 本モデルにおける予報変数は $u^{\prime}$, $w^{\prime}$, $\theta^{\prime}$, $\Pi^{\prime}$, $q_a^{\prime}$ ($a = v, c, r$) である. 密度の式では乾燥成分と湿潤成分の分子量の差を考慮するが, 熱の式では考慮し ない. 凝結量は気相質量に比べて十分少ないと仮定する. 比熱, 気体定数が空間的, 時間的に一様であると仮定している. 従って凝結性ガスが非凝結性に比べて圧倒的に多い系や, 非凝結性ガスが凝結性 ガスに比べて圧倒的に多い系以外では, 精度良い計算が保証されない.

運動方程式

$\displaystyle \DP{u^{\prime}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - u^{\prime} \DP{u^{\prime}}{x}
- w^{\prime} \DP{u^{\prime}}{z}
-...
...e{u}}{z}
- \langle c_p \rangle \overline{\theta_v} \DP{\Pi^{\prime}}{x} +
D_{u}$ (1.6)
$\displaystyle \DP{w^{\prime}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - u^{\prime} \DP{w^{\prime}}{x}
- w^{\prime} \DP{w^{\prime}}{z}
-...
...P{w^{\prime}}{x}
- \langle c_p \rangle \overline{\theta_v} \DP{\Pi^{\prime}}{z}$  
    $\displaystyle + \frac{\theta^{\prime}}{\overline{\theta}} g
+ \frac{q_d^{\prime...
... \rangle /M_d +
\sum \overline{q_v} \langle M \rangle / M_v} g
+ D_{w^{\prime}}$ (1.7)

圧力方程式

$\displaystyle \DP{ \Pi^{'}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \overline{u} \DP{\Pi^{'}}{x}
- \frac{\overline{{\langle c_{s} \...
...bar{\theta_v}^{2}}
\Ddiv \left(
\bar{\rho} \bar{\theta_v} \Dvect{u^{'}}
\right)$  
    $\displaystyle + \frac{ \overline{\langle c_s \rangle^2} }{\langle c_p \rangle
\...
...t\{ \Dinv{\bar{\Pi}} ( Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis} )
+ D_{\theta^{'}} \right\}$  
    $\displaystyle + \Dinv{ \bar{q_d} \langle M \rangle / M_d
+ \sum \bar{q_v} \lang...
...- \frac{\bar{q_d}}{\bar{\rho}} \sum M_{fall} (\rho_r^{'}) +
D_{q_d^{'}} \right)$  
    $\displaystyle + \sum \frac{\langle M \rangle}{M_v}
\left( - \frac{\bar{q_v}}{\b...
... M_{fall} (\rho_r^{'}) +
M_{src} (q_v^{'}) + D_{q_v^{'}} \right)
\Bigg\}
\Bigg]$ (1.8)

熱の式

$\displaystyle \DP{\theta^{\prime}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - u^{\prime} \DP{\theta^{\prime}}{x}
- w^{\prime} \DP{\theta^{\pr...
...DP{\overline{\theta}}{z}
+ \Dinv{\overline{\Pi}} (Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis})$  
    $\displaystyle + D_{\overline{\theta}} + D_{\theta^{\prime}}$ (1.9)

比湿の保存式

$\displaystyle \DP{q_a^{\prime}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - u^{\prime} \DP{q_a^{\prime}}{x}
- w^{\prime} \DP{q_a^{\prime}}{z}
- \overline{u} \DP{q_a^{\prime}}{x}
- w^{\prime} \DP{\overline{q_a}}{z}$  
    $\displaystyle + \Dinv{\overline{\rho}} M_{fall} (\rho_a^{\prime})
+ \Dinv{\over...
...\rho}} \sum M_{fall}
(\rho_r^{\prime})
+ D_{\overline{q_a}}
+ D_{q_a^{\prime}}.$  

ただし, $\bar{~}$ の付いた変数は水平一様な基本場であることを示し, $\prime$ の付いた変数は基本場からのずれを表す. 比湿に関して

$\displaystyle q_d + \sum q_v + \sum q_c + \sum q_r = 1$     (1.10)

の関係が成り立つので, 非凝結性ガスの比湿については診断的に求めることとす る. このとき (1.10) は $a = v, c, r$ の 3 相に関する式となる. $\langle R \rangle$, $\langle c_p \rangle$, $\langle M \rangle$ はそれぞ れ平均気体定数, 平均定圧比熱, 平均分子量であり, それぞれ
$\displaystyle \langle R \rangle$ $\textstyle \equiv$ $\displaystyle \frac{\rho_d R_d + \sum \rho_v R_v}{\rho_d + \sum \rho_v },$ (1.11)
$\displaystyle \langle c_p \rangle$ $\textstyle \equiv$ $\displaystyle \frac{\rho_d c_{pd} + \sum \rho_v c_{pv}}{\rho_d + \sum \rho_v
},$ (1.12)
$\displaystyle \langle R \rangle$ $\textstyle \equiv$ $\displaystyle \frac{\rho_d + \sum \rho_v}{\rho_d / M_d + \sum \rho_v / M_v},$ (1.13)

と定義される. 本モデルでは $\langle R \rangle$, $\langle c_p \rangle$, $\langle M \rangle$ が一定値であるとみなす 1.1. $Q_{cond}$, $Q_{rad}$, $Q_{dis}$ はそれぞれ凝結加熱項, 放射加熱項, 散逸加熱項を表し, $M_{src}$, $M_{fall}$ はそれぞれ生成項, 落下項を表す. $M_{src}$, $M_{fall}$, $Q_{cond}$ の定式化については 1.2 節で詳述する. $Q_{rad}$ の定式化については 1.3 節で詳述する. $Q_{dis}$, $D_{\ast}$ の定式化については 1.4 節で詳述する.

エクスナー関数 $\Pi $

\begin{displaymath}
\Pi \equiv \left( \frac{p}{p_0} \right)^{\langle R \rangle / \langle
c_p \rangle}
\end{displaymath} (1.14)

温位 $\theta $

$\displaystyle \theta \equiv T \left( \frac{p_0}{p} \right)^{\langle R \rangle / \langle
c_p \rangle}
= \frac{T}{\Pi}$     (1.15)

仮温度 $T_{v}$

$\displaystyle T_v \equiv \left( \frac{\langle M \rangle}{M_d} q_d
+ \sum \frac{\langle M \rangle}{ M_v } q_v
\right) T$     (1.16)

仮温位 $\theta_{v}$

$\displaystyle \theta_v
\equiv \frac{T_v}{\Pi}
= \left( \frac{\langle M \rangle}{M_d} q_d
+ \sum \frac{\langle M \rangle}{ M_v } q_v
\right) \theta$     (1.17)

状態方程式

$\displaystyle \rho
= \frac{p}{\langle R \rangle \Pi \theta_v}
= \frac{p_0 \Pi^{\langle c_{v} \rangle / \langle R \rangle}}{\langle R
\rangle \theta_v}$     (1.18)

音波速度の式

$\displaystyle \langle c_s \rangle^2
= \frac{\langle c_p \rangle \langle R \rangle
\Pi \theta_v}{\langle c_v \rangle}$     (1.19)

1.2 雲微物理過程のパラメタリゼーション

本モデルでは Kessler(1969) のパラメタリゼーションと Tobie et al.(2003) に基づくパラメタリゼーションの 2 種類が用意されている1.2.

1.2.1 Kessler(1969) の雲微物理パラメタリゼーション

Kessler(1969) のパラメタリゼーションでは 4 つのカテゴリーを想定し, 微物 理素過程として以下を考慮する. ただし, これらの量は全て正の値として定義され, 水蒸気が直接雨水に凝結する過程は無視されている.
記号 内容
$CN_{vc}$ 凝結による水蒸気から雲水への変換 (condensation)
$EV_{cv}$ 蒸発による雲水から水蒸気への変換 (evaporation)
$EV_{rv}$ 蒸発による雨水から水蒸気への変換 (evaporation)
$CN_{cr}$ 併合成長による雲水から雨水への変換. 併合や水蒸気拡散により,
  雲粒子が雨粒の大きさにまで成長する (autocondensation)
$CL_{cr}$ 衝突併合による雲水から雨水への変換.
  大水滴が小水滴を衝突併合する (collection)
$PR_{r}$ 雨水の重力落下に伴う雨水混合比の変化率 (precipitation)

この微物理素過程を用いると, 生成項, 落下項, 凝結加熱項は以下のように表さ れる.

$\displaystyle M_{src} (\rho_v^{\prime})$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \overline{\rho} (CN_{vc} - EV_{cv} - EV_{rv}),$ (1.20)
$\displaystyle M_{src} (\rho_c^{\prime})$ $\textstyle =$ $\displaystyle \overline{\rho} (CN_{vc} - EV_{cv} - CN_{cr} - CL_{cr}),$ (1.21)
$\displaystyle M_{src} (\rho_r^{\prime})$ $\textstyle =$ $\displaystyle \overline{\rho} (CN_{cr} + CL_{cr} - EV_{cv}),$ (1.22)
$\displaystyle M_{fall} (\rho_v^{\prime})$ $\textstyle =$ $\displaystyle 0,$ (1.23)
$\displaystyle M_{fall} (\rho_c^{\prime})$ $\textstyle =$ $\displaystyle 0,$ (1.24)
$\displaystyle M_{fall} (\rho_r^{\prime})$ $\textstyle =$ $\displaystyle PR_r,$ (1.25)
$\displaystyle Q_{cond}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \frac{L_v}{\overline{\rho} \langle c_p \rangle}
M_{src} (\rho_v^{\prime}).$ (1.26)

(1.9), (1.10) を書き直すと, 以下のようになる.

$\displaystyle \DP{\theta^{\prime}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - u^{\prime} \DP{\theta^{\prime}}{x}
- w^{\prime} \DP{\theta^{\pr...
...langle c_{p} \rangle \overline{\Pi}}
\left( CN_{vc} - EV_{cv} - EV_{rv} \right)$  
    $\displaystyle + \Dinv{\bar{\Pi}} \left(Q_{rad} + Q_{dis}\right)
+ D_{\bar{\theta}}
+ D_{\theta^{\prime}}$ (1.27)
$\displaystyle \DP{q_v^{\prime}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - u^{\prime} \DP{q_v^{\prime}}{x}
- \overline{u} \DP{q_v^{\prime}...
...rime} \DP{\overline{q_v}}{z}
- \frac{\overline{q_v}}{\overline{\rho}} \sum PR_r$  
    $\displaystyle - \left( CN_{vc} - EV_{cv} - EV_{rv} \right)
+ D_{\overline{q_v}}
+ D_{q_v^{\prime}},$ (1.28)
$\displaystyle \DP{q_c^{\prime}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - u^{\prime} \DP{q_c^{\prime}}{x}
- w^{\prime} \DP{q_c^{\prime}}{z}
- \frac{\overline{q_c}}{\overline{\rho}} \sum PR_r$  
    $\displaystyle + CN_{vc} - EV_{cv} - CN_{cr} - CL_{cr}
+ D_{q_c^{\prime}},$ (1.29)
$\displaystyle \DP{q_r^{\prime}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - u^{\prime} \DP{q_r^{\prime}}{x}
- w^{\prime} \DP{q_r^{\prime}}{z}
+ \Dinv{\overline{\rho}} PR_r
+ CN_{cr} + CL_{cr} - EV_{rv}
+ D_{q_r^{\prime}}.$ (1.30)

ここで, $L_{v}$ は水の蒸発の潜熱[J kg$^{-1}$], $\langle c_{p} \rangle$ は定圧比熱[J K kg$^{-1}$] である.

微物理素過程は以下のように定式化する1.3.

水蒸気と雲水の間の変換: $-CN_{vc} + EV_{cv}$
 
雲水は粒が小さく, 水蒸気との間で瞬間的に飽和調節が起こるもの とする. すなわち, 移流などの項を計算した後の温度と水蒸気量が 過飽和状態となっている場合には, ちょうど飽和になる量の水蒸気 を凝縮させる. 一方, 移流などの項を計算した後に, 雲水が存在す るにも拘わらず未飽和になっている場所では, ちょうど飽和になる 量の雲水を蒸発させる.

雲水の併合成長: $CN_{cr}$
 
Kessler (1969) に従って, 以下のように与える.
    $\displaystyle CN_{cr} =
\left( q_{c}^{\prime} - q_{c 0} \right) / \tau_{ac}$ (1.31)

ただし, $ q_{c 0}$, $\tau_{ac}$ は併合成長に関する閾値, 時間スケールであり, それぞれ 0, 100 [s] とする.

雲水の衝突併合: $CL_{cr}$
 
Kessler (1969) に従って, 以下で定式化する.
    $\displaystyle CL_{cr} = 10.344 g^{1/2}
\left( \frac{\bar{\rho}}{\rho_w} \right)^{0.375}
q_c^{\prime} {q_r^{\prime}}^{0.875}$ (1.32)

雨水の蒸発: $EV_{rv}$
 
Kessler (1969) に従って, 以下で定式化する.
$\displaystyle EV_{rv} =
4.85 \times 10^{-2}
\left( q_{vsw} - q_v^{\prime} \right)
( \bar{\rho} q_r^{\prime} )^{0.65}$     (1.33)

ただし $q_{vsw}$ は飽和比湿を表す.

雨水のフラックス: $PR_{r}$
 
雨水の重力落下による混合比の変化率は,
$\displaystyle PR_{r} = \DP{}{z}
\left( \bar{\rho} q_r^{\prime} V_{term} \right).$     (1.34)

であり, 雨水の終端落下速度 $V_{term}$ [m s$^{-1}$] は
$\displaystyle V_{term} = 0.3224 g^{1/2}
\left( \frac{\rho_w}{\overline{\rho}} \right)^{0.375}
{q_r^{\prime}}^{0.125}$     (1.35)

で与える. ただし $\rho_w$ は液相の密度である.

1.2.2 Tobie et al.(2003) の雲微物理パラメタリゼーション

Tobie et al.(2003) は火星大気での CO$_{2}$ の雲物理の定式化について述べ ている. Tobie et al.(2003) では雲水を除く 3 つのカテゴリーを考える($q_c = 0$). 雲粒は拡散成長のみによって成長すると仮定し, 雲粒の併合成長は考慮しない. 微物理過程として以下を考慮する.

記号 内容
$CN_{vr}$ 凝結による水蒸気から氷への変換 (condensation)
$PR_{r}$ 氷粒の重力落下に伴う氷比湿の変化率 (precipitation)

この微物理素過程を用いると, 生成項, 落下項, 凝結加熱項は以下のように表さ れる.

$\displaystyle M_{src} (\rho_v^{\prime})$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \overline{\rho} CN_{vr},$ (1.36)
$\displaystyle M_{src} (\rho_r^{\prime})$ $\textstyle =$ $\displaystyle \overline{\rho} CN_{vr},$ (1.37)
$\displaystyle M_{fall} (\rho_v^{\prime})$ $\textstyle =$ $\displaystyle 0,$ (1.38)
$\displaystyle M_{fall} (\rho_r^{\prime})$ $\textstyle =$ $\displaystyle PR_r,$ (1.39)
$\displaystyle Q_{cond}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \frac{L_s}{\overline{\rho} \langle c_p \rangle}
M_{src} (\rho_v^{\prime}).$ (1.40)

(1.9), (1.10) を書き直すと, 以下のようになる.

$\displaystyle \DP{\theta^{\prime}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - u^{\prime} \DP{\theta^{\prime}}{x}
- w^{\prime} \DP{\theta^{\pr...
...DP{\bar{\theta}}{z}
+ \frac{L_s}{ \langle c_{p} \rangle \overline{\Pi}}
CN_{vr}$  
    $\displaystyle + \Dinv{\bar{\Pi}} \left(Q_{rad} + Q_{dis}\right)
+ D_{\bar{\theta}}
+ D_{\theta^{\prime}}$ (1.41)
$\displaystyle \DP{q_v^{\prime}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - u^{\prime} \DP{q_v^{\prime}}{x}
- w^{\prime} \DP{q_v^{\prime}}{...
...e{q_v}}{z}
- \frac{\overline{q_v}}{\overline{\rho}} \sum PR_r
(\rho_r^{\prime})$  
    $\displaystyle - CN_{vr}
+ D_{\overline{q_v}}
+ D_{q_v^{\prime}},$ (1.42)
$\displaystyle \DP{q_r^{\prime}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - u^{\prime} \DP{q_r^{\prime}}{x}
- w^{\prime} \DP{q_r^{\prime}}{z}
+ \Dinv{\overline{\rho}} PR_r
- CN_{vr}
+ D_{q_r^{\prime}}.$ (1.43)

ここで $L_s$ は CO$_2$ の昇華の潜熱 [J K$^{-1}$ kg$^{-1}$] である.

以下, $CN_{vr}$ の取り扱いについて述べる. 本モデルでは単位質量の気相に含まれる凝結核の個数及び半径は空間的・時間的 に一様と仮定する. また雲粒の半径は各格子内において空間的に一定であると仮定する. 更に雲粒は球形の凝結核を核として形成され, 雲粒自身も球形となると仮定する. このとき

\begin{displaymath}
\frac{4}{3} \rho_I \pi ( r_d^3 - r_{aero}^3) N
= q_r^{\prime} \overline{\rho}
\end{displaymath} (1.44)

という関係式が成り立つ. ここで $\rho_I$ は CO$_2$ 氷の密度, $r_d$ は雲粒半径, $r_{aero}$ は凝結 核の半径, $N$ は単位体積当たりの凝結核の数密度である. 本モデルでは $\rho_I = 1.565 \times 10^3$ [kg/m$^3$] と与え, $r_{aero}$, $N$ は実験に応じて与える. 雲粒の雲粒が拡散によって成長する場合の単位時間単位体積当たりの凝結量 $CN_{vr}$ は以下のように表される.
\begin{displaymath}
CN_{vr}
= \frac{4 \pi r_d N}{\overline{\rho} (R_h + R_m)}
(S - 1).
\end{displaymath} (1.45)

ここで $R_h$, $R_m$, $S$ はそれぞれ熱輸送に関する定数, 質量輸送に関する 定数, 飽和比であり
$\displaystyle R_h$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{L^2}{k R T^2} = \frac{L^2}{k R \theta^2 \Pi^2},$ (1.46)
$\displaystyle R_m$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{R T}{D p_{\ast}} = \frac{R \theta \Pi}{D p_{\ast}},$ (1.47)
$\displaystyle S$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{p}{p_{\ast}} = \frac{{p_0}^{\frac{c_p}{R}} \Pi}{p_{\ast}}$ (1.48)

と表される. 但し $k$, $D$, $p_{\ast}$ はそれぞれ熱拡散係数, 分子拡散係数, CO$_2$ の 飽和蒸気圧である. 本モデルでは Tobie et al. (2003) 同様に主成分凝結系では $R_h \gg R_m$ と して
\begin{displaymath}
CN_{vr} = \frac{4 \pi r_d N}{R_h} (S - 1).
\end{displaymath} (1.49)

と表す. CO$_2$ の飽和蒸気圧については半経験式である Antoine の式
\begin{displaymath}
p_{\ast} = \exp \left( A - \frac{B}{T - C} \right)
\end{displaymath} (1.50)

を用いて定める(Antoine, 1888). ここで $A$, $B$, $C$ は実験により定まる係数であり, CO$_2$ の場合 $A =
27.4$, $B = 3103$, $C = -0.16$ である(化学工学会, 1999). 火星大気環境における凝結を想定すると $O(T) \sim 150 $[K] であるので, $T
\gg C$ と近似して
\begin{displaymath}
p_{\ast} \approx \exp \left( A - \frac{B}{T} \right)
\end{displaymath} (1.51)

とする.

以下, 単位時間体積当たりの雲粒落下量 $PR_r$ の取り扱いについて述べる. Tobie et al.(2003) では雲粒落下を無視しているが, 本パラメタリゼーション では考慮する. $PR_r$ は Kessler(1969) と同様に, 雲粒の終端速度 $V_{term}$ での移流 として表現する. 即ち

\begin{displaymath}
PR_r = \DP{}{z} \left( \rho_r V_{term} \right)
\end{displaymath} (1.52)

と表す. 終端速度 $V_{term}$ については球形粒子に関する Stokes 則を適用して
\begin{displaymath}
V_{term} = C_{sc} \frac{2 r_d^2 g \rho_I}{9 \eta}
\end{displaymath} (1.53)

と表す. ここで $C_{sc}$ は微小な粒子における Stokes 則からのずれを補正する係数 (Cunningham 補正係数)であり,
\begin{displaymath}
C_{sc} = 1 + 1.255 \frac{\lambda}{r_d}
\end{displaymath} (1.54)

と表される(Cunningham, 1910). $\lambda$ は CO$_2$ の平均自由行程であり,
\begin{displaymath}
\lambda = \frac{k_B T}{\sqrt{2} \pi \sigma^2 p_{CO_2}}
\end{displaymath} (1.55)

と表される. $k_B$ は Boltzmann 定数, $\sigma$ は CO$_2$ 分子の直径, $p_{CO_2}$ は CO$_2$ の分圧であり, $k_B = 1.38 \times 10^{-23}$ [m$^2$ kg s$^{-2}$ K$^{-1}$], $\sigma = 3.3 \times 10^{-10}$ [m] である(Golden and Sircar, 1994). $\eta$ は粘性係数であり, Sutherland の公式
\begin{displaymath}
\eta = \eta_{ref} \left( \frac{T_{ref} + C_{CO_2}}{T + C_{CO_2}} \right)
\left( \frac{T}{T_{ref}} \right)^{3/2}
\end{displaymath} (1.56)

で表現する(Sutherland, 1893). $\eta_{ref}$, $T_{ref}$, $C_{CO_2}$ はそれぞれ粘性係数の基準値, 温度の基 準値, CO$_2$ に関する Sutherland 定数であり, $\eta_{ref} = 1.47 \times
10^{-5}$ [Pa $\cdot$ s], $T_{ref} = 293$ [K], $C_{CO_2} = 240$ [K] と与 え る(理科年表, 2004).

1.3 放射加熱項の表現

放射加熱項 $Q_{rad}$ は正味の上向き放射フラックス $F_{net}$ を用いて 以下のように表される.

\begin{displaymath}
Q_{rad} = - \frac{1}{\overline{\rho} \langle c_{p} \rangle }
\DD{F_{net}}{z}
\end{displaymath}

本モデルでは $F_{net}$ は陽に計算せず, $Q_{rad}$ は高度のみに依存する パラメタとして与える.

1.4 乱流混合のパラメタリゼーション

1.4.1 運動方程式中の拡散項

Klemp and Wilhelmson (1978) および CReSS (坪木と榊原, 2001) と同様に, 1.5 次のクロージャーを用いることで粘性拡散項は以下のように書ける.
$\displaystyle D_{u_{i}}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \DP{}{x_{j}} \overline{(u_{i}^{\prime} u_{j}^{\prime})}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle - \DP{}{x_{j}}
\left[
- K_{m} \left(\DP{u_{i}}{x_{j}}
+ \DP{u_{j}}{x_{i}}\right)
+ \frac{2}{3} \delta_{ij} E_{turb}
\right].$ (1.57)

ここで $K_{m}$ は運動量に対する乱流拡散係数であり, $E_{turb}$ は サブグリッドスケールの乱流運動エネルギー
$\displaystyle E_{turb} = \frac{1}{2}
\overline{(u^{\prime})^{2} + (w^{\prime})^{2}}
= \frac{{K_{m}}^{2}}{C_{m}^{2} l^{2}}$     (1.58)

である. Deardorff(1975) に従い, $C_{m} = 0.2$ とする.

1.4.2 熱力学の式の拡散項

Klemp and Wilhelmson (1978) および CReSS (坪木と榊原, 2001) と同様に, 1.5 次のクロージャーを用いることで温位の粘性拡散項は以下のように書ける.
$\displaystyle D_{\theta}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \DP{}{x_{j}} \overline{u_{j}^{\prime} \theta^{\prime}}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle - \DP{}{x_{j}} \left(K_{h}\DP{\theta}{x_{j}}\right)
.$ (1.59)

ここで $K_{h}$ は温位に対する乱流拡散係数である.

1.4.3 乱流運動エネルギーの式

Klemp and Wilhelmson (1978) および CReSS (坪木と榊原, 2001) と同様に, 1.5 次のクロージャーを用いることで, 乱流エネルギーの時間発展方程式は以 下のように書ける.

$\displaystyle \DP{E_{turb}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - u^{\prime} \DP{E_{turb}}{x} - w^{\prime} \DP{E_{turb}}{z}$  
    $\displaystyle - 3 \frac{g C_m l}{\overline{\theta_v}} E_{turb}^{\frac{1}{2}}
\D...
...ft( \DP{u^{\prime}}{x} \right)^2
+ \left( \DP{w^{\prime}}{z} \right)^2
\right\}$  
    $\displaystyle + C_m l E_{turb}^{\frac{1}{2}} \left( \DP{u^{\prime}}{z}
+ \DP{w^...
...2
- \frac{2}{3} E_{turb}
\left( \DP{u^{\prime}}{x} + \DP{w^{\prime}}{z} \right)$  
    $\displaystyle + \DP{}{x} \left( C_m l E_{turb}^{\frac{1}{2}} \DP{E_{turb}}{x} \...
...2}} \DP{E_{turb}}{z} \right)
- \frac{C_{\varepsilon}}{l} E_{turb}^{\frac{3}{2}}$  

ここで $C_{m} = 0.2$, 混合距離 $l = \left(\Delta x \Delta z
\right)^{1/2}$ とする. ただし $\Delta x, \Delta z$ はそれぞれ水平および鉛直格子間隔である. ただし,
$\displaystyle \theta_v
=
\overline{\theta_{v}} + \theta_{v}^{'}
=
\left( \frac{\langle M\rangle}{M_d}
q_d
+ \sum \frac{\langle M \rangle}{M_v}
q_v \right)$     (1.60)

である.

1.4.4 散逸加熱項の表現

散逸加熱項 $Q_{dis}$ は, 乱流運動エ ネルギーの散逸項をもとに, 以下のように与える.

\begin{displaymath}
Q_{dis} = \frac{1}{\langle c_{p} \rangle}\frac{C_{\varepsilon}}{l}
\frac{K_{m}^{3}}{(C_{m}l)^{3}}.
\end{displaymath} (1.61)

ここで $C_{\varepsilon} = 0.2$, $l=(\Delta x \Delta z)^{1/2}$ である.



... が一定値であるとみなす1.1
$\langle R \rangle$, $\langle c_p \rangle$, $\langle M \rangle$ が大きく 変化する系では物理的に意味のある計算が保証されない.
... 種類が用意されている1.2
現在, 本モデルで用意されている Tobie et al.(2003) のパラメタリゼーション は火星大気計算でのみ使用可能である.
...微物理素過程は以下のように定式化する1.3
各々の微物理過程の導出については付録 C を参照されたい.

next up previous
: 2. 参考文献 : 湿潤大気における 2 次元非静力学モデルの定式化 : 目次
Yamashita Tatsuya 平成21年12月2日