　Fluid Dynamics in Earth and Planetary Sciences (FDEPS)
　Second FDEPS Workshop 
　Dec 4 - 8, 1999
　Graduate School of Mathematical Sciences, University of Tokyo

Lecture 5. Negative diffusivity
W. R. Young

2000 年 12 月 08 日

OHP 資料一覧

Negative diffusivity
- これまでは kinematic な問題を扱った. すなわちトレーサーは passive.
- ここでは dynamic な問題を扱う. すなわちトレーサーは dynamically active.
- 安定成層をかき混ぜる実験で見られる層構造が negative diffusion に起因することを示し, その基本的な定式化を示す.
Layers and Interfaces in a stratified turbulent fluid (Young, Lelewllen-Smith, Balmforth)
- 層構造形成のモデルとして mixing length theory を用いた解析と計算
- 密度勾配の merge, fade out が良く再現できる.

Negative diffusivity
- 思考実験 : 安定成層, linear な鉛直密度分布.
  - スプーンでかき混ぜると一様な密度分布になる.
  - 与えた運動エネルギーはどうなる? -> 熱エネルギー or 位置エネルギーにかわる.
  - かき混ぜ前後の位置エネルギー差を計算
    $PE = \int_{-H}^H \rho g z dz = \int_{-H}^H \alpha g z^2 dz = -\frac{2}{3}\alpha g H^2 (\rho_0 H)$
    かき混ぜ後は $\alpha = 0$ だから $\Delta PE >0$ . 位置エネルギーは増えている.
  - 効率 = 位置エネルギー増加 / 全エネルギー
- mixing の室内実験(Park, Whitehead, Gnanadeskian)
  - 塩水が成層している状態と水が隣り合っている.
  - 棒を一定スピードで動かして乱流を生成する.
  - すると塩水境界が wavy になるようすが見られる.
  - このような現象はこれまでに説明した Eddy diffusion では説明できない. diffusion 型モデルでは線形分布の傾きが弱くなるだけ
- 室内実験 : 密度, 勾配の時間変化
  - Is turbulence stable? (Phillips 1972)
  - 鉛直密度分布に階段状の構造
  - 密度一様な層毎に turbulence が存在. 層間の境界では安定成層なので乱流が抑えられている.
  - 密度勾配のスパイクがだんだんくっついて行く様子が見られる.
- 室内実験 : 密度, 勾配の時間変化その 2
  - 密度勾配のスパイクが単に消えて行くだけの場合もある : fade out
- 室内実験 : 密度, 勾配の時間変化その 3
  - 密度分布によって全く振舞が異なる.
  - 密度分布が重要 :
- 理論
  - 密度勾配 g に対するフラックス f の関係
  - 密度勾配が弱いと, 一様密度中の渦輸送.
  - 密度勾配が強くなると, 成層で乱流が抑えられ, フラックスが減る
  - さらに強くなるとやがて分子拡散による輸送が卓越する.
  - この f ～ g=b_z 関係を S-shaped curve と呼ぼう.
  - : negative diffusion という.
    この定義は通常の negative difuusion の呼び方とはことなる.
- p² モデル
  - なぜ f/g でなく df/dg を用いて negative diffusion と称すか?
- 層形成する不安定
  - Negative diffusion : df/dg が層形成に重要な要素
- Negative diffusion の簡単なモデル
  - 周期的な強制による流れを考える.
  - 浮力のフラックスの極限 : N² が小さいと, これまでのパッシブトレーサーの拡散. 流れによってフラックスが強化される.
  - 浮力のフラックスの極限 : N² が大きいと分子拡散が効くだけ
  - N²が小さいところでの df/dg (拡散係数)が大きいので S 型の f-g 曲線になる.
- Negative diffusion の簡単なモデル : エネルギー収支
  - N²が大きいと注入されたエネルギーが全て位置エネルギーへ変換される.
Layers and Interfaces in a stratified turbulent fluid (Young, Llewellyn-Smith, Balmforth, JFM, 1998, vol.255, 329--358)
- モデル
  - 階段状の層の厚さは?
  - 変数を水平方向に平均した量で考える
  - mixing length : l の候補は二つ.
    Forcing で用いた棒の幅か, 運動エネルギーから作られる長さスケール.
  - このうち小さい方をとるべし. $1/l^2 = 1/d^2 + \gamma b_z/e$
- モデル : mixing length を用いた表現
  - スケーリング, 次元解析からエネルギー方程式を構成する.
  - Production term をのぞいて系が閉じている.
- モデル : 生成項の与え方
- P の与え方による Flux-gradient 関係
  - e = constant(定常, 一様), g = constant (定常, 一様)として先のモデルを解いた結果.
- The Equipartition model for P
- 数値計算結果
  - スパイクが merge して行く
- 数値計算結果 : flux-gradient 関係
- 数値計算結果 : spike の時間変化
  - スパイクが merge して行くだけでなく, 消えていくものもある.
- 室内実験, シミュレーション
  - シミュレーションに見られるフラックス時間変化の一定領域の三角形は, mixing length model のスパイクの merge の様子と似ている
- スパイクの merging の様子
- 結論