%% % 卒業論文 %% % タイトル「未定」 %% % %% % 20XX/XX/XX 修正 %% % 20XX/XX/XX 作成 %% % %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% %%%%%%%% Style Setting %%%%%%%% %% % フォント: 12point (最大), 片面印刷 %% \documentclass[a4j,12pt,openbib,oneside]{jreport} %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% %%%%%%%% Package Include %%%%%%%% %% \usepackage{ascmac} %% \usepackage{tabularx} %% \usepackage[dvipdfmx]{graphicx} %% %\usepackage[dvips]{graphicx} %% %\usepackage{float} %% \usepackage{amssymb} %% \usepackage{amsmath} %% \usepackage{Dennou6} % 電脳スタイル ver 6 %% \usepackage{bm} %% %\usepackage{fancybox} %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% %%%%%%%% PageStyle Setting %%%%%%%% %% \pagestyle{DAmyheadings} %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% %%%%%%%% Title and Auther Setting %%%%%%%% %% %% %% %% [ ] はヘッダに書き出される. %% %% { } は表題 (\maketitle) に書き出される. %% \Dtitle{sotsuron} % 変更不可 %% \Dauthor{惑星太郎} % ゼミ担当者の名前 %% \Ddate{2019/02/09} % ゼミの日時 (毎回変更すること) %% \Dfile{sotsuron.tex} %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% %%%%%%%% Set Counter (chapter, section etc. ) %%%%%%%% %% \setcounter{chapter}{1} % 章番号 %% \setcounter{section}{0} % 節番号 %% \setcounter{subsection}{1} %% \setcounter{equation}{0} % 式番号 %% \setcounter{page}{1} % 必ず開始ページは明記する %% \setcounter{figure}{1} % 図番号 %% \setcounter{table}{0} % 表番号 %% \setcounter{footnote}{0} %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% %%%%%%%% Counter Output Format %%%%%%%% %% \def\thechapter{\arabic{chapter}} %% \def\thesection{\arabic{chapter}.\arabic{section}} %% \def\thesubsection{\arabic{chapter}.\arabic{section}.\arabic{subsection}} %% \def\theequation{\arabic{chapter}.\arabic{equation}} %% \def\thepage{\arabic{page}} %% \def\thefigure{\arabic{chapter}.\arabic{figure}} %% \def\thetable{\arabic{chapter}.\arabic{table}} %% \def\thefootnote{*\arabic{footnote}} %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% %%%%%%%% Dennou-Style Definition %%%%%%%% %% %% 改段落時の空行設定 %% \Dparskip % 改段落時に一行空行を入れる %% %\Dnoparskip % 改段落時に一行空行を入れない %% %% 改段落時のインデント設定 %% \Dparindent % 改段落時にインデントする %% %\Dnoparindent % 改段落時にインデントしない %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% %%%%%%%% macro %% \newcommand{\pdiff}[3]{ %% \ifnum #1<1% %% \text{エラー}(最初の引数は1以上)\else{% %% \ifnum #1=1 \frac{\partial #2}{\partial #3}\else% %% \frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}\fi %% }\fi% %% } %% \newcommand*{\aboxed}[2]{% %% \rlap{\boxed{#1#2}}% %% \phantom{\hskip\fboxrule\hskip\fboxsep #1}&\phantom{#2}% %% } %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% %%%%%%%% Textcd Start %%%%%%%% %% \begin{document} \setcounter{chapter}{1} \chapter{支配方程式系と物理的近似} \markright{第\arabic{chapter}章 支配方程式系と物理的近似} % 節の題名を書き込むこと % ここから本文を書く %%% %%% \section{支配方程式系} %%% 海洋力学を支配する方程式は, 連続の式(2.0a), 運動方程式(2.0b), 塩分保存の式(2.0c), 温位の式(2.0d), 状態方程式(2.0e), ポアソン方程式(2.0f), 誘導方程式(2.0g), そして磁気単極子が存在しない条件(2.0h)である (Ingersoll 2005). ここでは, 非弾性近似 (運動方程式から音波を除去する近似) を用いて密度の関数を簡略化し, 線形状態方程式を仮定している. \begin{gather} \nabla \cdot (\rho_0 \mathbf{u}) = 0, \tag{2.0a} \\ \frac{\mathrm{D} \mathbf{u}}{\mathrm{D} t} + 2 \boldsymbol{\Omega} \times \mathbf{u} = -\frac{1}{\rho_0} \nabla p' + \frac{\rho'}{\rho_0} \mathbf{g} - \nabla \phi' + \nu \nabla^2 \mathbf{u} + \frac{1}{\mu_0 \rho_0} (\nabla \times \mathbf{B}) \times \mathbf{B} - \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\Omega}}{\mathrm{d} t} \times \mathbf{r}, \tag{2.0b} \\ \frac{\mathrm{D} S'}{\mathrm{D} t} = Q_1, \tag{2.0c} \\ \frac{\mathrm{D} \theta'}{\mathrm{D} t} = \frac{\theta_0}{T_0} \frac{Q_2}{c_p}, \tag{2.0d} \\ \rho' = \rho_0 \left( -\alpha \theta' + \beta S' + \frac{1}{\rho_0 c_s^2} p' \right), \tag{2.0e} \\ \nabla^2 \phi' = 4 \pi \mathcal{G} \rho', \tag{2.0f} \\ \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = \nabla \times (\mathbf{u} \times \mathbf{B}) - \nabla \times \left( \frac{1}{\mu_0 \sigma} \nabla \times \mathbf{B} \right), \tag{2.0g} \\ \nabla \cdot \mathbf{B} = 0. \tag{2.0h} \end{gather} 密度 $\rho$, 圧力 $p$, 重力ポテンシャル $\phi$, 塩分 $S$, 温位 $\theta$ は, 既知の基準場 (断熱的・静水圧的, 添字0で表す) と摂動 (プライムで表す) に分けて記述している. $\mathbf{u}$ は流体の速度場, $\mathbf{g}$ は重力加速度, $\boldsymbol{\Omega}$ は衛星の自転角速度ベクトル, $\mathbf{B}$ は磁束密度ベクトル, $\dfrac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}$ は物質微分, $\mathbf{r}$ は位置ベクトル, $\nu$ は動粘性係数である. また, $\mu_0$ は真空の透磁率, $\sigma$ は電気伝導率, $c_p$ は定圧比熱, $\mathcal{G}$ は万有引力定数, $c_s$ は音速, $\alpha$ は熱膨張係数, $\beta$ は塩分収縮係数, $T_0$ は基準温度を表す. また, $Q_1$ および $Q_2$ はそれぞれ塩分と熱の出入りを表す. また, 式 (2.0b) において, $\phi'=0$, $\mathbf{B}=0$, $\dfrac{d \mathbf\Omega}{dt} =0 $, $S=0$, ブシネスク近似 (浮力以外の項では, 密度一定と近似) を適用すると, 連続の式と運動方程式は, 以下のように変形される. \begin{equation} \nabla\cdot(\rho_{0}\mathbf{u})=0 \end{equation} \begin{equation} \frac{\mathrm{D} \mathbf{u}}{\mathrm{D}\mathrm{t}} + 2\mathbf{\Omega}\times\mathbf{u} = -\frac{1}{\rho_{0}}\nabla {p}'+ \frac{\rho'}{\rho_0}\mathbf{g} + \nu\nabla^2\mathbf{u} \label{eq:2.2} \end{equation} %%% %%% %%% \section{座標系の導入} % % 座標系を導入し, 運動方程式の変形を行う. 図\ref{omega:png}のようにデカルト座標系を考える. $(x, y, z)$ 軸をそれぞれ東, 北, 鉛直上向きを正として, 回転角速度を $\mathbf{\Omega}$, 緯度を $\phi$ とする. このとき, 緯度 $\phi$ を中心とした局所接平面のデカルト座標系では, 衛星の回転ベクトル $\boldsymbol{\Omega}$ は次のように表記される. \begin{equation} \mathbf\Omega = \Omega \begin{pmatrix} 0 \\ \cos \phi\\ \sin \phi \end{pmatrix} \label{eq:2.9} \end{equation} %%%% \begin{figure}[htbp] \begin{center} \includegraphics[width=10cm]{figs/Omega.png} \caption{衛星の自転ベクトル $\mathbf{\Omega}$ を, 緯度 $\phi$ におけるデカルト座標系の成分に分解した図. } \label{omega:png} \end{center} \end{figure} %%% また, 速度 $\mathbf{u}= \begin{pmatrix} u\\v\\w \end{pmatrix}$ との外積を計算すると, \begin{equation} \mathbf{\Omega} \times \mathbf{u}=\Omega \begin{pmatrix} w\cos\phi-v\sin\phi \\ u\sin\phi \\ -u\cos\phi \end{pmatrix} \label{eq:2.10} \end{equation} 式 (\ref{eq:2.2}) に式 (\ref{eq:2.10}) を代入して各成分ごとに書き下す. $\mathbf{g}=(0, 0, -g)$ であることに注意して, $b=-\dfrac{\rho'}{\rho_0}g$ とおくと, \begin{subequations} \label{eq:2.12} \begin{align} \frac{\mathrm{D}u}{\mathrm{Dt}} + \tilde{f}w - f v &= -\frac{1}{\rho_0} \frac{\partial {p'}}{\partial x} + F^x \label{eq:2.12a} \\ \frac{\mathrm{D}v}{\mathrm{Dt}} + f u &= -\frac{1}{\rho_0} \frac{\partial p'}{\partial y} + F^y \label{eq:2.12b} \\ \frac{\mathrm{D}w}{\mathrm{Dt}} - \tilde{f}u &= -\frac{1}{\rho_0} \frac{\partial p'}{\partial z} + F^z + b \label{eq:2.12c} \end{align} \end{subequations} となる. なお, \begin{equation} (F^x, F^y, F^z) = \nu\nabla^2\mathbf{u} \end{equation} であり, 粘性項である. 動粘性係数 $\nu$ の物理的意味は, 流体の隣り合った部分が異なる速度を持つとき, この速度差をなくすように接線応力が現れる性質である. また, $f=2\Omega\sin\phi$, $\tilde{f}=2\Omega\cos\phi$ であり, 特に$f$ は\textbf{コリオリパラメータ}と呼ばれる. %% %% \section{伝統的近似} %% %% \textbf{伝統的近似}は, 運動方程式の水平成分では鉛直流速 $w$ がかかった項, 鉛直成分ではコリオリ項をそれぞれ無視する近似である. 伝統的近似は, 地球流体力学でよく使われる近似である. 伝統的近似の適用条件は, 現象の水平スケール $L$ が, 現象の鉛直スケール $H$ よりも十分に大きい ($H \ll L$) 場合である. 地球大気を例にあげ, 運動方程式における各項の大小関係 (スケール解析) を考える. 地球大気 (中緯度) における総観規模のスケールを下表 2.1 に示す. \begin{table}[h] \centering \caption{地球大気における代表的なスケール (中緯度)} \begin{tabular}{lll} \toprule 変数 & 記号 & 値 (オーダー) \\ \midrule 水平スケール & $L \, [\mathrm{m}]$ & $10^{6}$ \\ 鉛直スケール & $H \, [\mathrm{m}]$ & $10^{4}$ \\ 水平風速 & $U \, [\mathrm{m/s}]$ & $10$ \\ 鉛直速度 & $W \, [\mathrm{m/s}]$ & $10^{-2}$ \\ 時間スケール & $T \, [\mathrm{s}]$ & $10^{5}$ \\ コリオリパラメータ & $f, \tilde{f} \, [\mathrm{s^{-1}}]$ & $10^{-4}$ \\ 気圧変動 & $p' \, [\mathrm{kg \, m^{-1} \, s^{-2}}]$ & $10^{3}$ \\ 密度変動 & $\rho' \, [\mathrm{kg \, m^{-3}}]$ & $10^{-2}$ \\ 基準密度 & $\rho_0 \, [\mathrm{kg \, m^{-3}}]$ & $1$ \\ 重力加速度 & $g \, [\mathrm{m/s^2}]$ & $10$ \\ \bottomrule \end{tabular} \end{table} 運動方程式をこれらの値でスケール解析し, 各項の大きさを比較すると, 以下のようになる. \begin{subequations} \begin{align} &\underbrace{\frac{Du}{Dt}}_{10^{-4}} + \underbrace{\tilde{f}w}_{10^{-6}} - \underbrace{fv}_{10^{-3}} = \underbrace{-\frac{1}{\rho_0}\frac{\partial p'}{\partial x}}_{10^{-3}} + F^x \label{eq:2.14a} \\ &\underbrace{\frac{Dv}{Dt}}_{10^{-4}} + \underbrace{fu}_{10^{-3}} = \underbrace{-\frac{1}{\rho_0}\frac{\partial p'}{\partial y}}_{10^{-3}} + F^y \\ &\underbrace{\frac{Dw}{Dt}}_{10^{-7}} - \underbrace{\tilde{f}u}_{10^{-3}} = \underbrace{-\frac{1}{\rho_0}\frac{\partial p'}{\partial z}}_{10^{-1}} + F^z - \underbrace{\frac{\rho'}{\rho_0}g}_{10^{-1}} \label{eq:2.14c} \end{align} \end{subequations} (2.7) 式においては, 右辺の圧力傾度力の項や浮力項に比べ $\tilde{f}u$ が十分小さく, その大小関係はほとんどの $\phi$ で成り立つ. 伝統的近似を適用する場合に無視される, 式(2.7a) の左辺第 2 項と式 (2.7c) の左辺第 2 項は, 合わせて\textbf{非伝統的コリオリ項(non-traditional coriolis terms)} と呼ばれる. 次に本研究の対象である氷衛星の内部海において, 運動方程式の各項の重要性を評価するためにスケール解析を行う. 本研究では, 最も簡潔な階層構造 (内側からケイ酸塩コア, 内部海, 氷層) を持つと考えられる, エンセラダスを想定する. 地球大気 (中緯度) とエンセラダス内部海におけるスケールを比較したものを下表に示す. \clearpage \begin{table}[h] \centering \caption{代表的なスケールの比較 (中緯度)} \begin{tabular}{llll} \toprule 変数 & 記号 & 地球大気 & エンセラダスの内部海 \\ \midrule 水平スケール & $L \, [\mathrm{m}]$ & $10^{6}$ & $10^{5}$ \\ 鉛直スケール & $H \, [\mathrm{m}]$ & $10^{4}$ & $10^{4}{}^{\star}$ \\ 水平風速・流速 & $U \, [\mathrm{m/s}]$ & $10$ & $10^{-2}{}^{\star}$ \\ 鉛直速度 & $W \, [\mathrm{m/s}]$ & $10^{-1}$ & $10^{-2}{}^{\star}$ \\ 時間スケール & $T = L/U \, [\mathrm{s}]$ & $10^{5}$ & $10^{7}{}^{\dagger}$ \\ コリオリパラメータ & $f, \tilde{f} \, [\mathrm{s^{-1}}]$ & $10^{-4}$ & $10^{-4}$ \\ 気圧・圧力変動 & $p' \, [\mathrm{kg \, m^{-1} \, s^{-2}}]$ & $10^{3}$ & $10^{2}{}^{\dagger}$ \\ 密度変動 & $\rho' \, [\mathrm{kg \, m^{-3}}]$ & $10^{-2}$ & $10^{-3}{}^{\dagger}$ \\ 基準密度 & $\rho_0 \, [\mathrm{kg \, m^{-3}}]$ & $1$ & $10^{3}{}^{\dagger}$ \\ 重力加速度 & $g \, [\mathrm{m/s^2}]$ & $10$ & $10^{-1}$ \\ \bottomrule \multicolumn{4}{l}{\footnotesize 無印：観測値, $\star$：先行研究の理論値, $\dagger$：理論値から計算値 (導出は付録参照)} \end{tabular} \end{table} 上記の氷衛星におけるスケールを用いて運動方程式を評価すると, 各項のオーダーは以下の通りとなる. なお, 粘性項は他の項に比べてスケールが小さいため, 無視している. \begin{subequations} \begin{align} &\underbrace{\frac{Du}{Dt}}_{10^{-9}} + \underbrace{\tilde{f}w}_{10^{-6}} - \underbrace{fv}_{10^{-6}} = \underbrace{-\frac{1}{\rho_0}\frac{\partial p'}{\partial x}}_{10^{-6}} + F^x \label{eq:2.15a} \\ &\underbrace{\frac{Dv}{Dt}}_{10^{-9}} + \underbrace{fu}_{10^{-6}} = \underbrace{-\frac{1}{\rho_0}\frac{\partial p'}{\partial y}}_{10^{-6}} + F^y \\ &\underbrace{\frac{Dw}{Dt}}_{10^{-10}} - \underbrace{\tilde{f}u}_{10^{-6}} = \underbrace{-\frac{1}{\rho_0}\frac{\partial p'}{\partial z}}_{10^{-5}} + F^z - \underbrace{\frac{\rho'}{\rho_0}g}_{10^{-7}} \end{align} \end{subequations} 注目すべきは, 式 (2.8c) において $\tilde{f}u$ ($10^{-6}$) の項が浮力項 (右辺第 3 項) よりも大きいことである. 特に, コリオリ力が浮力よりも大きい場合, 左辺のコリオリ力が右辺の圧力傾度力とつり合う. よって本研究では, 伝統的近似を適用せず, 非伝統的コリオリ項を保持した方程式で計算する. %% %% \section{$\beta$ 平面近似} $\beta$ 平面近似とは, コリオリパラメータ $f$ が緯度によって変化することを, 局所的な平面上で一次関数として近似する方法である. %% %% $\bm{f}=2\mathbf{\Omega}$と定義すると, 式 (\ref{eq:2.9}) と $f$, $\tilde{f}$ の関係式は, \begin{equation} \bm{f} = 2\mathbf{\Omega}= \begin{pmatrix} 0 \\ 2\Omega \cos \phi \\ 2\Omega \sin \phi \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \tilde{f} \\ f \end{pmatrix} \end{equation} と表される. ここで, ある緯度 $\phi_0$ から $\Delta\phi$ だけ離れた近傍を考える. 図 \ref{omega:png} のように緯度 $\phi$ における接平面で直線直交座標系を定めると, \begin{align} \phi &= \phi_0 + \Delta \phi \notag \\ &\simeq \phi_0 + \frac{y}{R} \end{align} なので, \begin{align} \sin \phi &\simeq \sin \Bigl( \phi_0 + \frac{y}{R} \Bigr) \notag \\ \cos \phi &\simeq \cos \Bigl( \phi_0 + \frac{y}{R} \Bigr) \notag \end{align} と表される. $1$ 次のテイラー展開を行うと, \begin{align} \sin \Bigl( \phi_0 + \frac{y}{R} \Bigr) \simeq \sin \phi_0 + \cos\phi_0 \cdot \frac{y}{R} \notag \\ \cos \Bigl( \phi_0 + \frac{y}{R} \Bigr) \simeq \cos \phi_0 - \sin\phi_0 \cdot \frac{y}{R} \notag \end{align} である. よって, 式 (2.9) は, \begin{align} \bm{f}= \begin{pmatrix} 0 \\ \tilde{f} \\ f \end{pmatrix} \simeq \begin{pmatrix} 0 \\[8pt] 2\Omega \cos \phi_0 - 2\dfrac{y}{R} \Omega \sin \phi_0 \\[10pt] 2\Omega \sin \phi_0 + 2\dfrac{y}{R} \Omega \cos \phi_0 \end{pmatrix} \label{eq:2.16} \end{align} と書き直すことが出来る. ここで, $f_0=2\Omega \sin \phi_0$, $\tilde{f_0}=2\Omega \cos \phi_0$, $\beta = \dfrac{2\Omega \cos \phi_0}{R}$, $\gamma' = \dfrac{2\Omega \sin \phi_0}{R}$ とおくと, \begin{align} \bm{f}= \begin{pmatrix} 0 \\ \tilde{f_0} - \gamma' y \\ f_0 + \beta y \end{pmatrix} \label{eq:2.17} \end{align} と変形される. 式の形を見ると, 接平面上におけるコリオリパラメータ $\bm{f}$ に緯度依存性が追加されていることが分かる. %% %% なお伝統的近似を適用して $\beta$ 平面近似を行う場合は, 式 (2.8) が近似され, $\tilde{f}$ の項が消えてしまうため, 自転の角速度ベクトルの水平成分を無視することになる. すなわち, $\tilde{f_0}-\gamma'y$ の項を $0$ に置き換えた形で, \begin{equation} \bm{f}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ f_0 + \beta y \end{pmatrix} \label{eq:2.18} \end{equation} である. \section{テイラー柱} 式 (2.2) において, コリオリ力と圧力傾度力が釣り合っている場合を考える. \begin{equation} 2\boldsymbol{\Omega} \times \mathbf{u} = -\frac{1}{\rho_0} \nabla p \end{equation} に対して, 両辺の回転 ($\nabla \times$) を取ると, \begin{equation} \nabla \times (2\boldsymbol{\Omega} \times \mathbf{u}) = \nabla \times \left( -\frac{1}{\rho_0} \nabla p \right) \end{equation} となる. スカラー場 $\phi$ に関して $\nabla \times \nabla \phi = 0$ が成り立つため, 右辺は $0$ となる. ここで, 以下のベクトル公式 \begin{equation*} \nabla \times (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = \mathbf{A}(\nabla \cdot \mathbf{B}) - \mathbf{B}(\nabla \cdot \mathbf{A}) + (\mathbf{B} \cdot \nabla)\mathbf{A} - (\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B} \end{equation*} を用い, 非圧縮の条件 ($\nabla \cdot \mathbf{u} = 0$) および自転角速度ベクトル $\boldsymbol{\Omega}$ が場所に依らない定数であることを考慮すると, 次式が導かれる. \begin{equation} \left(2\boldsymbol{\Omega} \cdot \nabla\right) \mathbf{u} = \mathbf{0} \label{eq:taylor} \end{equation} 回転軸に平行なz軸をおくと, $\mathbf{\Omega}=\left(0,0,\Omega\right)$ と表されるため, \begin{equation} \Omega\dfrac{\partial \mathbf{u}}{\partial z} = \mathbf{0} \end{equation} と変形できる. これは, 速度の各成分について回転軸方向の微分が $0$ になることを意味し, 自転角速度ベクトル $\Omega$ と速度勾配が必ず垂直であることを示す. つまり, 運動が $\boldsymbol{\Omega}$ 方向に一様である. 特に高速回転する球殻流体においては, この定理に従って回転軸に平行な円筒状の流体構造である\textbf{テイラー柱} (Taylor column) が形成される. 本研究では自転する氷衛星を考え, 内部海においてテイラー柱の出現を確認する. \begin{figure}[hbtp] \begin{center} \includegraphics[width=8cm]{figs/taylor.png} \caption{高速回転する球殻流体におけるテイラー柱の様子. Busse(1970) より引用. } \label{taylor:png} \end{center} \end{figure} %%%　なぜ地球ではβ平面近似の話と, 今回β平面近似しない理由と, Dellar(2011)での補正項の話 %% %%% %%% %%% %%% %%% % ここで本文おしまい %\end{document} %%%%%%%% Text End %%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%% Sample %%%%%%%% %\begin{figure}[h] % \begin{center} % \includegraphics[width=10cm]{fig6_2.PNG} % \caption{\footnotesize{}} % \end{center} %\end{figure} %extractbb ***.PNG