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\chapter{モデルの概要と実験設定}
\markright{第\arabic{chapter}章 モデルの概要と実験設定} %  節の題名を書き込むこと
% ここから本文を書く

\section{DCPAM5}

本実験で使用するモデルはDCPAM5である. 
DCPAM5は, 地球流体電脳倶楽部の汎惑星大気大循環モデルであり, 様々な惑星の大気を一つのモデルで計算することができる.


\subsection{支配方程式系}

DCPAM5 はプリミティブ方程式系を用いている. 
プリミティブ方程式とは, 大気力学の基礎方程式で, 運動方程式, 連続の式 静水圧の式, 熱力学の式, 水蒸気の連続の式から成る. 
コンピュータを用いた気象予測では, これらを用いて数値計算を行っている. 
今回は乾燥大気を仮定するので水蒸気の連続の式は含まない. 
水平方向には緯度$\varphi$, 経度$\lambda$の球面座標系, 鉛直方向には$\sigma$座標系を用いる. 
$\sigma $座標は, $\sigma=p/p_s$で表される座標系である. 
ここで$p$は圧力, $p_s$は地表面気圧である. 以下にその方程式を示す. 各変数の意味は表 \ref{tab:hogehoge} のとおりである.
以下の方程式の理解には, DCPAM5の支配方程式とその離散化\cite{dcpam}を参考にした. 

\subsubsection{ナビエ-ストークス方程式 (運動方程式)}
\begin{align}
  \frac{\partial \zeta}{\partial t}&=\frac{1}{a}\left(\frac{1}{1-\mu^2}\frac{\partial V_A}{\partial \lambda}-\frac{\partial U_A}{\partial \mu}\right)+\mathcal{D}(\zeta),\\
  \frac{\partial D}{\partial t}&=\frac{1}{a}\left(\frac{1}{1-\mu^2}\frac{\partial U_A}{\partial \lambda}+\frac{\partial V_A}{\partial \mu}\right)-\nabla^2_\sigma(\Phi+R\overline{T}\pi+KE)+\mathcal{D}(D).
\end{align}

\subsubsection{連続の式}
\begin{equation}
  \frac{\partial \pi}{\partial t}+v_H \cdot \nabla_\sigma \pi=-D-\frac{\partial \dot{\sigma}}{\partial \sigma}
\end{equation}

\subsubsection{静水圧の式}
\begin{equation}
  \frac{\partial \Phi}{\partial \sigma}=-\frac{RT_v}{\sigma}
\end{equation}

\subsubsection{熱力学の式}
$\begin{aligned}
  \frac{\partial T}{\partial t}=&-\frac{1}{a}\left(\frac{1}{1-\mu^2}\frac{\partial UT'}{\partial \lambda}+\frac{\partial VT'}{\partial \mu}\right)+T'D\\
  &-\dot{\sigma}\frac{\partial T}{\partial \sigma}+\kappa T_v \left( \frac{\partial \pi}{\partial t}+ v_H \cdot\nabla_\sigma\pi+\frac{\dot{\sigma}}{\sigma}\right)+\frac{Q_\mathrm{diav}}{C_p}+\mathcal{D}(T)+\mathcal{D'}(v)
\end{aligned}$

ここで, 
\begin{align}
\mu &\equiv \sin \varphi \\
\pi &\equiv \ln p_s \\
U&\equiv u\cos\varphi\\
V&\equiv v \cos \varphi\\
\zeta &\equiv \frac{1}{a}\left(\frac{1}{1-\mu^2}\frac{\partial V}{\partial \lambda}-\frac{\partial U}{\partial \mu}\right) : 渦度\\ D&\equiv \frac{1}{a}\left(\frac{1}{1-\mu^2}\frac{\partial U}{\partial \lambda}+\frac{\partial V}{\partial \mu}\right) : 発散
\end{align}
である. ただし, $u$は東西風速, $v$は南北風速, $T$は気温を表している.

\begin{table}[h]
    \centering
    \caption{変数の意味}%%%%タイトルと表の追記
    \label{tab:hogehoge}
    \begin{tabular}{|c|c||c|c||c|c|}
        \hline 
        $t$ & 時刻 & $\varphi$ & 緯度 & $\lambda$ & 経度 \\ \hline
        $T$ & 温度 & $\overline{T}$ & 基準温度 & $T'$ & $T-\overline{T}$ \\ \hline
        $T_v$ & 仮温度 & $\Phi$ & $gz$ & $u, v$ & 東西, 南北風速 \\ \hline
        $\zeta$ & 渦度 & $D$ & 水平拡散 & $KE$ & 単位質量あたりのエネルギー \\ \hline
        $v_H\cdot \nabla_\sigma \pi$ & 水平移流項 & $U_A, V_A$ & 仮速度 & $\mathcal{D}$ & 拡散項 \\ \hline
        $Q_{\mathrm{diav}}$ & 非断熱加熱 & $g$ & 重力加速度 & $a$&惑星半径\\\hline
        $\kappa$ & $R/c_p$ \\\cline{1-2}

    \end{tabular}
\end{table}
加えて, 鉛直方向の境界条件は
\begin{equation}
\dot{\sigma}=0 \quad at\quad \sigma=0,1
\end{equation}
である.

\subsection{放射過程}

DCPAM5における火星大気の放射過程は, モデル大気の構成成分をCO2のみとし, 長波放射のみを考えることで簡略化している. 
まず, 加熱率は次のように表現される.

\begin{align}
Q&=-\frac{1}{C_p \rho}\frac{\partial F}{\partial z} \\
&=\frac{g}{C_p}\frac{\partial F}{\partial p}\\
F&=F_L+F_S
\end{align}

ここで$F_L$, $F_S$はそれぞれ長波放射フラックスと短波放射フラックス, $\rho$ は空気密度, $z$ は地表からの高度である. 
透過率$\mathcal{T}(\tau, \tau')$とすると, 散乱を無視した場合の放射伝達方程式は

\begin{align}
F(\tau)&=F^+(\tau)-F^-(\tau)\\
F(\tau)^+&=\pi B_s \mathcal{T}(\tau_s,\tau)-\int^{\tau_s}_\tau \pi B(\tau')\frac{d\mathcal{T}(\tau,\tau')}{d\tau'}d\tau'\\
F(\tau)^-&=\int^{\tau}_0 \pi B(\tau')\frac{d\mathcal{T}(\tau,\tau')}{d\tau'}d\tau'
\end{align}
と書くことができる. $B$はプランク関数, $\tau$は光学的厚さである. $B$はプランク関数の積分値であり, 波数$k$依存するが, 灰色大気を考える場合には, ステファンボルツマン係数$\sigma_{SB}$を用いて,

\begin{align}
\pi B(\tau)&=\sigma_{SB}T^4(\tau)\\
\pi B_s&=\sigma_{SB}T^4_s
\end{align}

となる.% 火星では光学的厚さはどう定義されている？？
ここで $T_s$ は地表面温度である.
散乱を考慮した場合, 二流近似した放射伝達方程式は

\begin{align}
\frac{\partial F^+}{\partial \tau}&=\gamma_1 F^+-\gamma_2F^--S^+\\
\frac{\partial F^-}{\partial \tau}&=\gamma_2 F^+-\gamma_1F^-+S^+
\end{align}

となる. ただし, 
\begin{align}
S^+=\gamma_3\pi F_s \varpi_0 \exp\left(-\frac{\tau_c+\tau}{\mu_0}\right)+2\pi(1-\varpi_0)B\\
S^-=\gamma_4\pi F_s \varpi_0 \exp\left(-\frac{\tau_c+\tau}{\mu_0}\right)+2\pi(1-\varpi_0)B
\end{align}

である. % EddingtonかHemispheric mean かどっち使ってる？？

\subsection{その他の物理過程}
放射過程の他に, このモデルでは鉛直拡散 (Mellor and Yamada, 1982, レベル2.5), 乾燥対流調節, バケツモデルを用いている. 鉛直拡散は, グリッドサイズよりも小さい乱流による鉛直混合拡散の効果を表現するものである. 乾燥対流調節は, 各点で成層が絶対不安定にならないようにチェックし、不安定になった場合は乾燥静的エネルギーを保存するように中立な状態に調節する. バケツモデルは, 陸面土壌水分を一定容量のバケツとして表す簡単な陸面水収支モデルである. 

% \subsection{離散化の方法}
% ここでは離散化の方法について説明する. 本研究で行う実験

% \begin{itemize}
% \item 力学過程
% \begin{itemize}
% \item 鉛直離散化 : Arakawa and Suarez(1983)
% \item 水平離散化 : スペクトル変換法, Bourke(1988)
% \item 時間離散化
% \begin{itemize}
% \item 水平拡散及びスポンジ層における減衰項 : 後方差分
% \item その他の項 : semi-implicit 法, Bourke(1988)
% \end{itemize}
% \end{itemize}
% \item 物理過程
% \begin{itemize}
% \item 鉛直離散化 : 
% \item 時間離散化
% \begin{itemize}
% \item 予報型 : 前方差分
% \item 調節型 : semi-implicit 法での力学過程積分後に計算された値を用いて計算
% \end{itemize}
% \end{itemize}
% \end{itemize}

\section{実験設定}

このモデルを用いて表 \ref{tab:setting} の設定のもと, 火星実験を実施した. 
空間解像度はT21L36である. 
T 直後の数字は水平方向の解像度を示し, スペクトル法における三角切断の切断波数である. 
このとき, 水平方向は 64×32 格子である. 
また, L 直後の数字は鉛直方向の層数を表す. 
\begin{table}[h]
    \centering
    \caption{火星実験の設定}
    \label{tab:setting}
    \begin{tabular}{cc}
        \hline 
        惑星半径 & 3396 km \\ 
        重力加速度 & 3.72 m/s$^2$ \\ 
        自転角速度 & 7.09 $\times$ 10$^{-5}$ rad/s\\ 
        乾燥大気の分子量 & 43.5 g/mol \\
        定圧比熱 & 0.849 J/(g$\cdot$K)\\
        \hline
    \end{tabular}
\end{table}

% 加えて, 鉛直方向の境界条件は
% \begin{equation}
% \dot{\sigma}=0 \quad at\quad \sigma=0,1
% \end{equation}
% である.

積分時間は 5 火星年で, 今回の解析では 5 火星年目のデータを用いた.

% ここで本文おしまい
%\end{document}                  
%%%%%%%%              Text End                  %%%%%%%%
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%%%%%%%%              Sample                    %%%%%%%%

%\begin{figure}[h]
%  \begin{center}
%    \includegraphics[width=10cm]{fig6_2.PNG}
%    \caption{\footnotesize{}}
%  \end{center}
%\end{figure}

%extractbb ***.PNG