　Fluid Dynamics in Earth and Planetary Sciences (FDEPS)
　Second FDEPS Workshop 
　Dec 4 - 8, 1999
　Graduate School of Mathematical Sciences, University of Tokyo

Lecture 0. Overview
W. R. Young

2000 年 12 月 06 日

OHP 資料一覧

Einstein 1905: diffusion by discontinuous jumps
- Diffusion by discontinuous movements
  - Brown's 1828 の suspended pollen grain (花粉)の観察を解釈. 生物の動きに限らず, 石を削った小さい粉でも不規則な動きをする.
  - grain の動きから Diffusivity を計算. $\langle Xi^2\rangle = 1/N \cdot\Sigma X_i = 2Dt$ , X は元の位置からの相対位置(?)
  - Einstein's assumptions
    Particles move independently of one another
    観測間隔 $\tau$ (1 sec order)は粒子の衝突時間(10ms order)よりはるかにながい
- Einstein's derivation of the diffusion eq.
  - $\tau$ 時間間隔おくと, それぞれの粒子が $\Delta$ の距離の間隔動く確率
    $\phi(\Delta)$ : Probability Density Function (PDF)
    $\Delta$ : displacemant
  - $\phi$ は以下の性質をもつ.
    $\phi(\Delta) = \phi(-\Delta)$ ,
    $\int \phi(\Delta) = 1$ ,
    $\bar{\Delta^2} = \int \Delta^2\phi(\Delta) d\Delta < \infty$
  - c(x,t) は t での x に存在する粒子の濃度とすると
    $c(x,t+\tau)= \int c(x+\Delta,t)\phi(\Delta)d\Delta$
  - この式を近似すると Diffusion eq. が得られる. 近似の条件は $\sqrt{\bar{\Delta^2}}/L \ll 1$ . テイラー展開すると
    $c(x,t)+ \tau \DP{c(x,t)}{t} = \int [ c(x,t) + \DP{c}{x}\Delta + 1/2 \DP[2]{c}{x}\Delta^2] \phi(\Delta)d\Delta = c(x,t) + 0 + \bar{\Delta^2}/2 \DP[2]{c}{x}$
    $\longrightarrow \DP{c(x,t)}{t} = \bar{\Delta^2}/2\tau \DP[2]{c}{x}$
    $D \equiv \bar{\Delta^2}/2\tau$
  - Homework : 平均分布の性質をチェック
    $\langle x^2\rangle(t+\tau) - \langle x^2\rangle(t)f = \langle\Delta^2\rangle, \DD{<x^2>}{t} = 2 D$ , where $\langle f\rangle = \int fc dx/\int c dx$
  - Answer
    $\int f(x)c(x,t+\tau)dx = \int dx\int d\Delta f(x)c(x+\delta,t)\phi(\Delta)$
    - f general
      $\int f(x)c(x,t+\tau)dx = \int d\Delta \phi(\Delta) \int dx f(x)c(x+\delta,t) = \int d\Delta \phi(\Delta) \int f(x-\Delta) c(x,t) dx$
    - f=1 -> conservation of grains
      $\int c(x,t+\tau)dx = \int d\Delta \phi(\Delta) \int dx c(x+\delta,t) = \int d\Delta \phi(\Delta) \int c(x,t) dx = \int c(x,t) dx$
    - f=x -> center of mass does not move
      $\int xc(x,t+\tau)dx = \int d\Delta \phi(\Delta) \int dx xc(x+\delta,t) = \int d\Delta \phi(\Delta) \int (x-\Delta)c(x,t) dx = \int d\Delta \phi(\Delta) \int xc(x,t) dx - \int d\Delta \Delta\phi(\Delta) \int c(x,t) dx = \int d\Delta \phi(\Delta) \int xc(x,t) dx = \int xc(x,t) dx$
    - -> 分布が広がって行く
      $\int x^2c(x,t+\tau)dx = \int d\Delta \phi(\Delta) \int dx x^2c(x+\delta,t) = \int d\Delta \phi(\Delta) \int (x-\Delta)^2c(x,t) dx = \int d\Delta \phi(\Delta) \int x^2c(x,t) dx - 2\int d\Delta \Delta\phi(\Delta) \int xc(x,t) dx \int d\Delta \Delta^2\phi(\Delta) \int c(x,t) dx = \int x^2c(x,t) dx - \bar{\Delta^2}$
Taylor 1921
- Diffusion by continuous movements
  - Taylor は "diffusing power of a velocity field" を調べた周期性は見られるが, 完全に周期的ではない速度場
  - 各粒子の位置は $\DD{x}{t} = u(t) \longrightarrow x(t) = \int_0^{t_1} u(t_1) dt_1$
  - 統計が定常であるならば, $\DD{x^2}{t}= 2 \int u(t_1)u(t) dt_1, \DD{\langle x^2 \rangle}{t}= 2 \int C(t_1) dt_1$ ,
    $C(t) = \langle u(t')u(t-t')\rangle$ : Lagrangian velocity autocorrelation function
  - もっとも簡単な場合, $\langle x^2\rangle \sim 2 Dt$ when $t \gg \tau$
  - Taylor 自身は $c_t = D \Dlapla c$ を主張してはいない.
Anomalous diffusion in hydrodynamics trapping in vorticies
- 最近の室内実験では, 粒子の拡散についての細かな議論がある. しかしながら $\langle x^2 \rangle$ が必ずしも t に比例して広がる結果にはなっていない.
- 良い例 Chaotic mixing in 2D flows (Solomon et.al, Phys. Fluids 1998, vol.10)
  - ベナール対流セルが横に振動する状況を考える <- レイリー数が大きくなると ZigZag 不安定が生じる.
  - モデル流線関数 : $\phi = \phi_0 \sin[k(x+b\sin\omega t)]W(z)$ を用いてトレーサー計算をすると, 実験の結果が非常によく再現される.
  - $\langle x^2 \rangle$ は t に比例して増加
- 悪い例 : Cardoso, Glunckman, Parcollet of Tabeling, 1996
  - Cell dimensions : 30cm x 30 cm x 3mm
  - ExB forcing -> 30x30 counter rotating vortices
  - 粒子は渦に長い時間トラップされる. トラップから逃れると非常に速く動き次の渦にトラップされる.
  - $R_m \equiv \int rc d^2a / \int c d^2a \sim t^{1/3}$ ,
    $R_g^2 \equiv \int r^2c d^2a / \int c d^2a \sim t^{2/3}$
- Random walk : Heuristic arguments
  - trapping time が非常に長い場合が出現
  - W(t) : wating time probability function
  - $1 = \int W(t) dt, \bar{t} = \int tW(t)dt, W(t) \sim t^{-\xi}$
Stirring and mixing versus mixing
- Eckart : mixing of coffee and cream
  - Stirring -> 速度の効果のみ. graident を増加させる
  - mixing -> 最終的には molecular diffusion で混ぜる.
- Batchelor 1952
  - stirring によって線素の長さは指数的にのびる. $l = l_0 \exp(\gamma t)$ .
- Pierre Welander 1955 : Stirring without mixing
  - 500mb の気圧パターンを使ってチェッカーパターンの変形をみる.