　Fluid Dynamics in Earth and Planetary Sciences (FDEPS)
　Second FDEPS Workshop 
　Dec 4 - 8, 1999
　Graduate School of Mathematical Sciences, University of Tokyo

Lecture 3. Effective diffusivity of Laminar Flows
W. R. Young

2000 年 12 月 07 日

OHP 資料一覧

1 次元流の例
- Shear dispersion in an unbounded domain
  - 拡散方程式に従うトレーサーがクエット流中でどのように広がるか?
  - y 方向に拡散で広がる. 従って $\Delta y \sim \sqrt{\kappa t}\longrightarrow \Delta x \sim (\kappa t)^{3/2}$
  - しかしながらチャネル全体に広がったらバランスが変わる. $t \gg H^2/\kappa \longrightarrow \Delta x \sim \sqrt{D_{eff} t}$
  - スケーリングによる議論
  - Jones (1993) の計算. plate b に見られる分布ではクエット流のシアーで傾いて見える.
  - 無限領域でのデルタ関数的初期分布には解析解が存在.
- History: Taylor 1953
  - 細いチューブの中の拡散
  - 管の断面で平均した値の方程式
    $C_t + U C_x = D_{eff} C_xx, \ D_{eff} = \kappa + U^2a^2/\kappa$
    effective な拡散係数が増加する. 増加分は分子拡散に逆比例
- Gx trick
  - x と z 方向を分離することでうまく解ける.
- Zappa model
  - 時間間隔 $\tau$ で一気に鉛直平均した分布に force する.
  - Zap : ショック反応
- 非定常な流れの場合
  - $\omega =0$ とすると, これまでの定常な流れで見られた $1/\kappa$ の依存性が見える.
  - 水平流の波長程度に拡散が始まった後に良い近似となる.
2 次元流れ
- Cellular velocity fields
  - 2 次元流れ 2 種類 : $\psi=\psi_0\sin kx\sin ky$ , $\psi=\psi_0\sin kx\sin ky + \mu \cos kx \cos ky$
  - 境界条件 : x=0,L_x で c 固定, y=0,L_y でフラックス 0 :
  - セルの大きさに対する拡散時間より長い時間に対して effective diffusivity の表現が良くなる
  - effective は Peclet number $p=\psi/k$ の関数
  - フラックスは必ずしも gradient に平行にはならない.
- Example I
- Peclet 数による定常解の違い
  - Peclet 数が小さい場合は拡散解が少しゆがむだけ
  - Peclet 数が大きな場合は境界層に集中
- 初期値からの時間発展
- Nusselt 数の Peclet 数依存性
  - p の次数をあげるといいとこまであう.
  - p が大きいところは BLT
  - [0/0],[1/1], [2/2] は Taylor 展開.
  - [0/1], [1/2], [2/3] は Pate approximants の分子分母の次数.
  - 同じ次数なら Pate approximants の方が収束がよい.
- The fundamental problem
- Example 1 again
  - p に関する級数の形で Nusselt 数が求まる
  - しかしながら p>2 では収束しない.
- Example 1 again
  - テイラー級数の代わりに, 二つの多項式の割算の形で表す. Pade approximants.
  - 級数の収束範囲は複素面内の特異点で制限されている.
    たとえば 1/1+x²=1 - x² + x⁴ は収束半径が 1, これは特異点が $\pm i$ にあるから.
  - Pade approximants の方法で計算する方が Taylor 展開よりもよい. 前の図を参照せよ
- ヌッセルト数のペクレ数依存性 : 修正版
  - さらに p>>1 での漸近的振舞を知っていれば, その解と接続することで十分良い答えが得られる.
  - 境界層理論を使うと $Nu \sim p^{??}$ を求められる.
- Example 2
  - 全て同じ向きに回る渦. Example I とは異なる対称性を持つ流れ.
  - y 方向へのフラックスがある. y=0 でのコンターの傾きがどこでも同じ. y=0 を横切る流れがないので, これは拡散に起因する. Note that Example I ではコンターが傾いていない.
- Taylor の論文の sitation index の変化
  - Taylor の論文はいまだに refer されている.