計算手順

Zalesak(1979) に従うとその計算手順は以下のようになる.

1. 精度の低い低次のスキームを用いてフラックスを計算する. これを $F_{i+\frac{1}{2}}^{L}$ と表す. このとき用いるスキームは上流差分 のような「単調な」(数値波を作らない)スキームであることが要請され る.
2. 精度の高い高次のスキームを用いてフラックスを計算する. これを $F_{i+\frac{1}{2}}^{H}$ と表す.
3. antidiffusive フラックスを以下のようにして定義する.
   

   $$A_{i+\frac{1}{2}}\equiv F_{i+\frac{1}{2}}^{H}-F_{i+\frac{1}{2}}^{L}.$$ (14')

   
   

4. 低次のスキームで計算する.
   

   $$\rho _{i}^{td}=\rho _{i}^{n} - \frac{1}{\Delta x}[F_{i+\frac{1}{2}}^{L} -F_{i-\frac{1}{2}}^{L}].$$ (15')

   
   

5. 補正フラックスを適当な方法で計算する. 補正の与える際の条件は Boris and Book(1973) と同様である.
   

   $$A_{i+\frac{1}{2}}^{c} = C_{i+\frac{1}{2}}A_{i+\frac{1}{2}}, \; 0 \le C_{i+\frac{1}{2}}\le 1.$$ (16')

   
   

   なお補正係数 $C_{i+\frac{1}{2}}$ の与え方については後述する.

6. 補正フラックスを与える.
   

   $$\rho _{i}^{td}=\rho _{i}^{n} - \frac{1}{\Delta x}[A_{i+\frac{1}{2}}^{c} -A_{i-\frac{1}{2}}^{c}].$$ (17')

   
   

このように定義することにより応用範囲が大きく広がる. 低次のスキーム には条件がつくが, 高次のスキームに対しては何も制約がないのであらゆ るスキームを用いることができる. 組み合わせるスキームを決めてしまえ ばあとは上記の手順に沿って機械的に計算を進めることができる. 実際計 算をする場合には $F_{i+\frac{1}{2}}^{L}, F_{i+\frac{1}{2}}^{H}$ を 計算する部分のコードだけを書き換えればよいことになるので, 種々のス キームを用いてそのパフォーマンスを比較検討することが容易になる.

なお Harten and Zwas(1972) による自己調節混合スキーム (Self-Adjusting Hybrid Schemes; 以下 SAHS とする)は, 上記の 5 番 目に相当する所の計算方法が異なるだけで, その他の手順は同様である.

(14)$\sim$(17)をまとめて書くこともできる. この場合

$$\rho _{i}^{n+1}=\rho _{i}^{n} - \frac{1}{\Delta x}\left\{[... ...}}^{H}+ (1-C_{i-\frac{1}{2}})F_{i-\frac{1}{2}}^{L}]\right\},$$ (18')

となる. FCT とは低次と高次のスキームの重ね合わせであり, その比率 $C_{i+\frac{1}{2}}$ の与え方に工夫を凝らしたものと捉えることができ る. $C_{i+\frac{1}{2}}$ の与え方を変えると SAHS にすることもできる. 一般に FCT として普通目にするのは(18)式の表現である. ここまで来ると Boris and Book(1973), Book et al.(1975) の表 現とは一見異なるが, やっていることは同じである.