速度場が非定常な場合

速度場が非定常な場合, $\psi$ の $t$ に関する 2 階微分をこれまでの ように簡単に空間微分に置き換えることができない. たとえば 1 次元の 場合,

$$\DP[2]{\psi }{t} = -\DP{}{t}\left[ \left( \DP{}{x}(u\psi ... ...{u}{t}\right] + \DP{}{x}\left[ u^{2} \DP{\psi }{x} \right],$$ (42)

となる. スキームには上式の右辺第 1 項が考慮されなければならない. しかし $u$ と $\psi$ が結合していなければ, この項の存在は以下の 手続きに従い簡単に取り込むことができる. まず 1 次元移流方程式 (2)を次のように時間方向に差分化する.

$$\frac{\psi ^{n+1}-\psi ^{n}}{\Delta t } = -\DP{}{x}(u^{n+\frac{1}{2}}\psi ^{n}),$$ (43)

$\psi ^{n+1}, u^{n+\frac{1}{2}}$ をそれぞれ時刻 $t$ の周りで展開する. このとき $\psi$ の $t$ に関する 2 階微分は(42)のように表す.

$$\psi _{i}^{n+1} = \psi _{i}^{n} + \left.\DP{\psi }{t}\right\vert^{n} \Delta t + \left.\frac{1}{2}\DP[2]{\psi }{r}\right\vert^{n}(\Delta t)^{2} + O(\Delta t^{3})$$

$$= \psi _{i}^{n} + \left.\DP{\psi }{t}\right\vert^{n}\Delta t - \fra... ...^{2}\DP{}{x} \left(\psi \left.\DP{u}{t}\right)\right\vert^{n}+ O(\Delta t^{3}),$$ (44)

$$-\DP{}{x}(u^{n+\frac{1}{2}}\psi ^{n}) = -\DP{}{x}(u^{n}\psi ^{n}) -\frac{1}{2}\Delta t \DP{}{x}\left(\psi \left.\DP{u}{t}\right)\right\vert^{n} + O(\Delta t^{2})$$ (45)

これらを(43)に代入すると,

$$\left.\DP{\psi }{t}\right\vert^{n} = -\DP{}{x}(u^{n}\psi^{... ...} \DP{\psi ^{n}}{x}\right)\right\vert^{n}+ O(\Delta t^{2}),$$ (46)

となる. 右辺第 1 項を上流差分で空間方向に差分化すると(8) が求まる.

以上より速度場が非定常な場合には時刻 $t+\Delta t/2$ における速度場を用いて 計算すればよいことがわかる. $u^{n+\frac{1}{2}}$ は,

$$u^{n+\frac{1}{2}}=\frac{u^{n}+u^{n+1}}{2}+O(\Delta t^{2})$$

等として求めてやればよい.