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オイラー平均方程式系

ある物理量$ A$の帯状(東西)平均を $ \overline{A}$で表すことにすると
$\displaystyle \overline{A}(\phi, p, t) = \Dinv{2\pi}\int_0^{2\pi} A(\lambda, \phi, p, t) \Dd \lambda$      

と書ける. 他の独立変数( $ \phi, p, t$)については固定して平均するので, これはオイラー平均の一例である. また帯状平均からのずれを$ A'$とすると
$\displaystyle A' = A - \overline{A}$      

である. このとき $ \overline{A'}=0$, $ \partial \overline{A}/\partial\lambda = 0$となることに注意. (2.1)の帯状平均を考える. (2.1)中の各量を帯状平均成分とずれ成分に分けて書くと
\begin{subequations}\begin{align}
 \DP{}{t}(\overline{u} + u') &
 + \frac{\overl...
...theta} + \theta')\notag\\  
 &= \overline{Q} + Q'
 \end{align}\end{subequations}

となる. 上記を変形して, 左辺に平均量と平均量同士の積の項を, 右辺にそれ以外の項をまとめると
\begin{subequations}\begin{align}
 \DP{\overline{u}}{t} &
 + \frac{\overline{u}}...
...rline{\theta}}{p}
 - \omega'\DP{\theta'}{p}
 + Q'
 \end{align}\end{subequations}

と書ける. (2.3)をオイラー平均すると,
\begin{subequations}\begin{align}
 \DP{\overline{u}}{t}&
 + \Dinv{a}\overline{v}...
...eta'}{\phi}}
 - \overline{\omega'\DP{\theta'}{p}}
 \end{align}\end{subequations}

となる. ここで(2.3.4), (2.4.4) から東西平均からのずれに関する連続の式
$\displaystyle \Dinv{a\cos\phi}\left[\DP{u'}{\lambda}
+ \DP{}{\phi}(v'\cos\phi)\right]
+ \DP{\omega'}{p}
= 0$     (2.0.5)

が得られる. ここで$ u' \times $(2.5)のオイラー平均を(2.4.1)に足し加えると,

$\displaystyle \DP{\overline{u}}{t}$ $\displaystyle + \Dinv{a}\overline{v}\DP{\overline{u}}{\phi}
 + \overline{\omega...
...rline{v} 
 - \frac{\tan\phi}{a}\overline{u}\overline{v}
 - \overline{X} =\notag$    
  $\displaystyle - \Dinv{a\cos\phi}\overline{u'\DP{u'}{\lambda}}
 - \Dinv{a}\overline{v'\DP{u'}{\phi}}
 - \overline{\omega'\DP{u'}{p}}\notag$    
  $\displaystyle - \Dinv{a\cos\phi}\overline{u'\DP{u'}{\lambda}}
 - \Dinv{a}\overl...
...}{\phi}}
 - \overline{u'\DP{\omega'}{p}}
 + \frac{2\tan\phi}{a}\overline{u'v'}.$    

このとき

$\displaystyle - \Dinv{a\cos\phi}\overline{u'\DP{u'}{\lambda}}
 - \Dinv{a\cos\phi}\overline{u'\DP{u'}{\lambda}}$ $\displaystyle = - \Dinv{a\cos\phi}\overline{\DP{(u')^2}{\lambda}}$    
  $\displaystyle = 0,$    
$\displaystyle - \Dinv{a}\overline{v'\DP{u'}{\phi}}
 - \Dinv{a}\overline{u'\DP{v'}{\phi}}
 + \frac{2\tan\phi}{a}\overline{u'v'}$ $\displaystyle = -\Dinv{a\cos^2\phi}\DP{}{\phi}(\overline{v'u'}\cos^2\phi)$    
$\displaystyle - \overline{\omega'\DP{u'}{p}}
 - \overline{u'\DP{\omega'}{p}}$ $\displaystyle = -\DP{}{p}(\overline{\omega'u'})$    

を用いると,

  $\displaystyle \DP{\overline{u}}{t}
 + \Dinv{a}\overline{v}\DP{\overline{u}}{\ph...
...ine{v} 
 - \frac{\tan\phi}{a}\overline{u}\overline{v}
 - \overline{X} =
 \notag$    
  $\displaystyle \hspace{5em}
 -\Dinv{a\cos^2\phi}\DP{}{\phi}(\overline{v'u'}\cos^2\phi)
 -\DP{}{p}(\overline{\omega'u'})$    

と書くことができる. (2.4.2), (2.4.5)についても同様の手順で変形することが出来, まとめると,
$\displaystyle \begin{itemize}
 <tex2html_comment_mark> \item 運動方程式
 <tex2h...
...'}\cos\phi)
 - \DP{}{p}(\overline{\omega'\theta'}).
 \end{align}
 \end{itemize}$

となる . 以降, (2.6)をオイラー平均方程式と呼ぶ.
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Tsukahara Daisuke 平成16年11月26日