A. 準圧縮方程式系の導出

1 基礎方程式

地球大気における湿潤対流の定式化同様, 大気の乾燥成分と湿潤成分の 分子量の差は密度の式には考慮するが, 熱の式には考慮しないような 系を考える. この系では大気の熱エネルギーは乾燥大気の熱エネルギーで 決まることになる. このような系では温位 が保存量として使える.

1 気温 , 密度 , 風速 を予報変数とする場合

水平鉛直 2 次元大気の状態を 気温 , 圧力 , 風速 , 密度 で表現する場合, 基礎方程式系は以下のようになる.

運動方程式

 

連続の式

 

密度の式(状態方程式)

 

熱の式

 

凝縮成分の混合比保存式

 

ここで , , は単位質量当たりの乾燥成分の 気体定数, 定圧比熱, 密度であり, は非断熱加熱, は気体成分の混合比, は雲水混合比, は雨水混合比である. は, 凝縮成分の数だけ存在する. , , を付けた項はそれぞれ 拡散項, 生成消滅項, 落下項を意味する.

密度の式には凝縮成分の混合比が考慮されている.

ただし, , , はそれぞれ, 凝縮性気体, 雲水, 雨水の混合比を意味する. ここで乾燥成分の分圧 は.

となるので,

である. 但し は分子量を表し, 凝縮成分の体積は無視できるものと見なした. rho:rho, rho:rho_d 式より,

となる.

と定義すると, rho:p-T_1 式は以下のように書ける.

また, 温位とエクスナー関数を用いて表現すると,

である. 但しエクスナー関数 は の関係を満たす.

温位は乾燥断熱状態における保存量である. 乾燥断熱状態を表す熱力学の式は

である. ここで は温度, は圧力, は単位質量当たりの比熱, は比容である. theta1 式の は, 理想気体の状態方程式を用いると,

と書ける. ここで は分子量, は気体定数である. theta1 式に theta2 式を代入し整理すると,

となる. 凝縮を生じない場合には気塊の組成は変化しないので と は共に に依存しない. 一般に は の関数であるが, を定数とみなすと,

となり, 温位が得られる.

2 温位 , 圧力 , 風速 を予報変数とする場合

水平鉛直 2 次元大気の状態を 温位 , 圧力 , 風速 , 密度 で表現する場合, 基礎方程式系は以下のようになる. CReSS(坪木と榊原, 2001)では, この基礎方程式を用いている.

運動方程式

 

圧力方程式

 

密度の式(状態方程式)

 

熱の式

 

凝縮成分の混合比の保存式

 

ただし温位 は

であり, 仮温位 は,

である. 音速 は

である. と はそれぞれ単位質量当たりの 乾燥成分の定圧比熱と定積比熱であり, という 関係にある.

圧力方程式は密度の式と連続の式を組み合わせることで得られる. まず密度を として の全微分を求める.

となる. pressure:theta-p:drho 式を圧力の式として整理すると,

であり, 連続の式を用いると,

となり, 圧力方程式が得られる.

3 温位 , 無次元圧力 , 風速 を予報変数とする場合

水平鉛直 2 次元大気の状態を 温位 , 無次元圧力 , 風速 , 密度 で表現する場合, 基礎方程式系は以下のようになる. 連続の式 equations:continue と状態方程式 equations:rho を用いることで得られる圧力方程式を利用する. Klemp and Willhelmson (1978)では, この基礎方程式を用いている.

運動方程式

 

圧力方程式

 

状態方程式

 

熱の式

 

水蒸気および水物質混合比の式

 

ただし, エクスナー関数 は,

であり, 音速 は

である.

運動方程式の圧力勾配は, 温位とエクスナー関数を用いることで得られる.

圧力方程式は密度の式と連続の式を組み合わせることで得られる. まず密度を として の全微分を計算する.

となる. pressure:theta-pi:drho 式を圧力の式として整理すると,

となり, 連続の式を用いると,

となり, 圧力方程式が得られる.

2 準圧縮方程式系の導出

準圧縮方程式系では, 変数を基本場と擾乱場に分離し, 線形化を行う.

1 基本場と擾乱場の分離

変数を基本場と擾乱場に分離し, 基本場は静水圧平衡にあると仮定する. この時, 変数は以下のように書ける.

但し, とし, 基本場の風速 と雲粒混合比と雨粒混合はゼロと見なした. そして基本場には静水圧平衡,

の関係が成り立つものとする.

2 水平方向の運動方程式の線形化

水平方向の運動方程式を基本場と擾乱場に分離する.

上式において移流項以外の 2 次の微小項を消去し, さらに基本場は 方向に は変化しないことを利用すると, 以下の擾乱成分の式が得られる.

ここで は,

である.

3 鉛直方向の運動方程式の線形化

鉛直方向の運動方程式を基本場と擾乱場に分離する.

上式において移流項以外の 2 次の微小項を消去すると以下となる.

さらに静水圧の式を利用すると以下となる.

ここで は,

であり, DTheta 式の第 2 項を計算すると,

であり, DTheta 式の第 3 項を計算すると,

であり, DTheta 式の第 4 項を計算すると,

となるので,

である. ここで擾乱成分は平均成分に比べて十分に小さいので, 全量を平均成分に置き換えることで,

となる. これを用いると, 擾乱成分の速度 の式は以下のように書ける.

4 圧力方程式の線形化

Klemp and Wilhelmson (1978) では, 非断熱的な加熱による熱膨張と 凝縮に伴う圧力変化を無視し,

として定式化した. 本モデルで考える系では, 凝縮成分が十分に小さいので, この近似を用いることとした.

圧力方程式に関して, 平均成分と擾乱成分に分ける. ただし, 擾乱成分は平均成 分よりも十分小さいという仮定を用い, , とする.

上式では を平均成分と擾乱成分に分離して 2 次の微小項を 無視すると, と等しくなることを利用している.

ただし , であることを用いた. 平均成分は にのみ依存することを利用し, また 2 次の微小項を無視する.

さらに を理想気体の状態方程式で変形してまとめると, 圧力の擾乱成分の時間発展方程式が得られる.

以上より,

である.

5 熱の式の線形化

熱の式を平均成分と擾乱成分に分離する.

ここで平均場の量は の関数であることを用いると,

となる.

6 混合比の保存式の線形化

凝縮成分の混合比の保存式についても, 変数を平均成分と擾乱成分に分離する. 熱の式と同様に, 以下のように書ける. 但し, 生成項, 落下項は擾乱成分のみ 存在すると仮定する. この仮定は平均場では凝縮は生じていないと考えることに 等しい.

但し雲水量と雨水量は擾乱成分のみの量である.

3 まとめ

準圧縮方程式系は以下のようにまとめられる. ただし, 擾乱を示す は 除いた.

運動方程式

 

圧力方程式

 

熱の式

 

凝縮成分の混合比の保存式