B. 乱流パラメタリゼーション

1 乱流パラメタリゼーション

Klemp and Wilhelmson (1978) および CReSS で用いられている 1.5 次のクロー ジャーを用いる. このとき乱流運動エネルギーの時間発展方程式は,

288#288 11#11 289#289 (98)

と与えられる. 290#290 は混合距離で, 94#94 とする. 291#291 と 292#292 はそれぞれ浮力と流れの変形速度によ る乱流エネルギー生成項, 293#293 は乱流エネルギー拡散項, 第 4 項は乱流 エネルギーの消散項であり,

294#294 11#11 295#295 (99)

296#296 11#11 297#297 (100)

298#298 11#11 299#299 (101)

である. 1.5 次のクロージャーでは, レイノルズ応力を以下のように定義する.

300#300 11#11 301#301 (102)

302#302 11#11 303#303 (103)

ここで 80#80 は運動量に対する渦粘性係数であり, 81#81 はサブグリッドス ケールの乱流運動エネルギー, 86#86 は渦拡散係数である. 80#80, 86#86 は 81#81 を用いて以下のように与えられる.

304#304 11#11 305#305 (104)

306#306 11#11 307#307 (105)

パラメータ 308#308 はともに 0.2 である. a

1 乱流運動エネルギー方程式の導出

Klemp and Wilhelmson (1978) ではB:dEdtについて, 「Deardroff (1975), Mellor and Yamada (1974), Schemm and Lipps (1976) で用いられ ている式と類似のものである」とだけ記述され, その導出の詳細については解 説されていない. それゆえ大気大循環モデルでよく用いられている Mellor and Yamada (1974, 1982) のパラメタリゼーションとの対応が不明瞭であ る. そこで以下では Mellor and Yamada (1973, 1974) の定式化の手順に沿っ て式B:dEdt, レイノルズ応力1, レイノルズ応力 2 の導出を行う.

考えているサブグリッドスケール内において, 密度は一定, 動粘性係数や拡散 係数などの物理定数は一定とする. 出発点となる方程式は, Mellor and Yamada (1973) の式 (7) および (8)

309#309 310#310 311#311

310#310 312#312

11#11 313#313

310#310 314#314 (106)

315#315 310#310 316#316

11#11 317#317 (107)

および, MY1974:eq(7)において 318#318 とした式

319#319 11#11 320#320

321#321 (108)

ここで

322#322

で, 323#323 はそれぞれ動粘性係数, 拡散係数および熱膨 張率, 324#324 は重力加速度ベクトルの第 325#325 成分である.

MY1974:eq(7)およびMY1974:eq(8)に現れる圧力に関する相関項 および 3 次の相関量については以下の仮定をおく.

1. 326#326 (圧力による運動エネルギーの再分配)

   
   

   327#327
   
   
   とおく. ここで 328#328 は乱流の特徴的なスケール, 329#329 は無次元の定数である.

2. 330#330 (圧力による熱エネルギー再分配)

   1. の導出と同様の考察によって,
   

   331#331
   
   
   とおく. ここでの乱れのスケールは 332#332 とする.

3. 333#333 (粘性による散逸)

   粘性に関与するような小スケールの現象は等方的とみて 334#334 のみ で表現する.
   

   335#335
   
   
   ここで 336#336 は粘性の及ぶ特徴的スケールである.

4. 337#337

   
   

   338#338
   
   
   とおく.

5. 339#339

   速度変動による 339#339 と考え次のようにおく.

   340#340
   
   
   
   
   ここで 341#341 はそれぞれの特徴的スケールである.

6. 342#342 (圧力変動による拡散)

   
   

   343#343
   
   
   とする. この近似は Deardroff (1975), Schemm and Lipps (1976) でも行われている.

7. 344#344 (コリオリ項)

   
   

   345#345
   
   
   
   
   346#346
   
   
   とする. この近似は Deardroff (1975), Schemm and Lipps (1976) でも行われている.

8. 347#347

   
   

   338#338 (109)

   
   
   とする.

以上の近似をMY1974:eq(7), MY1974:eq(8), qの予報式 に対して行うと, 以下の式を得る.

348#348 349#349 350#350

11#11 351#351

352#352 (110)

353#353 349#349 354#354

11#11 355#355 (111)

356#356 310#310 357#357

11#11 358#358 (112)

ここで

359#359

である. これらは Mellor and Yamada (1974) の Level 4 モデルの式に対応 する式である.

式MY1974:Level4(1), MY1974:Level4(2), MY1974:Level4(3)に対し, さらに以下の近似を加える.

• 式MY1974:Level4(1)は, 右辺の第 4 項と第 5 項だけ考慮する. さらにMY1974:Level1(1)では 360#360 とする.

• 式MY1974:Level4(2)は, 右辺の第 1 項と第 4 項だけ考慮する. さらに 361#361 とする.

• 式MY1974:Level4(3)は, 左辺の 3 次相間項を無視する.

これらの近似を行うと, 式MY1974:Level4(1), MY1974:Level4(2), MY1974:Level4(3)は

362#362 11#11 363#363 (113)

364#364 11#11 365#365 (114)

356#356 11#11 366#366 (115)

となる. MY1974:Level1(1)は Mellor and Yamada (1974) の Level 1 モデルの 367#367 の式である. MY1974:Level1(2)は Mellor and Yamada (1974) の Level 1 モデル の 368#368 の式で 369#369 の項を無視したものに対応する. MY1974:Level3(1) は Mellor and Yamada (1974) の Level 3 モデ ルの 370#370 の式において, 3 次相関項を無視し粘性拡散項を残したものに 対応する.

371#371 とし, 334#334 を 81#81 で表し動粘性係数を乱流拡散係数で置き換えると

362#362 11#11 372#372 (116)

364#364 11#11 373#373 (117)

288#288 11#11 374#374 (118)

となる. 理想気体の場合 375#375 であることに注意すると, 式 乱流エネルギーの式は散逸項の係数を除きB:dEdtに一致 する.

以上より, Klemp and Wilhelmson (1978) の乱流パラメタリゼーションは, Mellor and Yamada (1974) の Level 3 モデルと Level 1 モデルとを組みあ わせたものと理解することができる. Klemp and Wilhelmson (1978) と同様に 乱流運動エネルギーのみ予報し他の相関量は診断的に求めるモデルとして Mellor and Yamada (1974) の Level 2.5 モデルがある. しかし Level 2.5 モデルは Level 3 モデルと Level 2 モデルとの組合せであることに注意が必 要である.

2 2 次元の場合の表現

2 次元の場合のB:dEdt式の各項を書き下す. 浮力による乱流エネル ギー生成項は,

294#294 11#11 376#376

11#11 377#377

11#11 378#378 (119)

である. 次に流れの変形速度による乱流エネルギー生成項 292#292 は,

296#296 11#11 379#379

11#11 380#380

11#11 381#381

11#11 382#382 383#383

11#11 384#384 385#385

11#11 386#386

387#387 (120)

である. 乱流エネルギー拡散項 293#293 は,

298#298 11#11 388#388

11#11 389#389 (121)

である. 以上の B, S, De 式を B:dEdt 式 に代入することで以下の式を得る.

288#288 11#11 390#390 391#391

392#392 (122)

3 乱流拡散係数を用いた表現

B:TurbE 式を B:E 式を用いて 80#80 に関する式に変形 する. 右辺の乱流エネルギー拡散項を書き下すと,

393#393 310#310 394#394

11#11 395#395

11#11 396#396

11#11 397#397

となるので, B:TurbE 式を変形すると,

398#398 11#11 399#399 400#400 401#401

402#402 (123)

係数を整理すると,

87#87 11#11 403#403 89#89 404#404 91#91 405#405

となり, ここで 406#406 と 407#407 という 関係を用いると,

87#87 11#11 408#408 89#89 90#90 91#91

409#409 (124)

となる.