A. 準圧縮方程式系の導出

A.1 線形化前の基礎方程式系

地球大気における湿潤対流の定式化同様, 大気の乾燥成分と湿潤成分の 分子量の差は密度の式には考慮するが, 熱の式には考慮しないような 系を考える. この系では大気の熱エネルギーは乾燥大気の熱エネルギーで 決まることになる. このような系では温位 $\theta$ が保存量として使える.

A.1.1 気温 $T$, 圧力 $p$, 風速 $u, w$, 密度 $\rho$ で表現する場合

水平鉛直 2 次元大気の状態を 気温 $T$, 圧力 $p$, 風速 $u, w$, 密度 $\rho$ で表現する場合, 基礎方程式系は以下のようになる.

運動方程式

 

$$\DD{u}{t} + \Dinv{\rho}\DP{p}{x} = Turb.u$$ (A.1)

$$\DD{w}{t} + \Dinv{\rho}\DP{p}{z} - g = Turb.w$$ (A.2)

連続の式

 

$$\DD{\rho}{t} + \rho\left( \DP{u}{x} + \DP{w}{z}\right) = 0$$ (A.3)

密度の式(状態方程式)

 

$$\rho = \frac{p}{R_{d} T_{v}}$$ (A.4)

熱の式

 

$${c_{p}}_{d}\DD{T}{t} - \Dinv{\rho_{d}} \DD{p}{t} = Q + Turb.T$$ (A.5)

凝縮成分の混合比保存式

 

$$\DD{q_{v}}{t} = Src.q_{v} + Turb.q_{v}$$ (A.6)

$$\DD{q_{c}}{t} = Src.q_{c} + Turb.q_{c}$$ (A.7)

$$\DD{q_{r}}{t} = Src.q_{r} + Fall.q_{r} + Turb.q_{r}$$ (A.8)

ここで $R_{d}$, ${c_{p}}_{d}$, $\rho_{d}$ は単位質量当たりの乾燥成分の 気体定数, 定圧比熱, 密度であり, $Q$ は非断熱加熱, $q_{v}$ は気体成分の混合比, $q_{c}$ は雲水混合比, $q_{r}$ は雨水混合比である. $q_{v}, q_{r}, q_{c}$ は, 凝縮成分の数だけ存在する. $Turb$, $Src$, $Fall$ を付けた項はそれぞれ 拡散項, 生成消滅項, 落下項を意味する.

密度の式には凝縮成分の混合比が考慮されている.

$$\rho = \rho_{d} + \sum \rho_{v} + \sum \rho_{c} + \sum \rho_{r}$$

$$= \rho_{d} (1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r} ).$$ (A.9)

ただし, $q_v = \rho_v/\rho_{d}$, $q_{c}$, $q_{r}$ はそれぞれ, 凝縮性気体, 雲水, 雨水の混合比を意味する. ここで乾燥成分の分圧 $p_{d}$ は.

$$p_{d} = p \left( 1 - \frac{\sum p_{v}}{p} \right)$$

$$= p \left( 1 - \frac{\sum p_{v}}{p_{d} + \sum p_{v} }\right)$$

$$= p \left( 1 - \frac{\sum \rho_{v} R_{v} T}{\rho_{d} R_{d}T + \sum \rho_{v} R_{v} T }\right)$$

$$= p \left( 1 - \frac{\sum q_{v}/M_{v}}{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v} }\right)$$

となるので,

$$\rho_{d} = \frac{p_{d}}{R_{d} T} = \frac{p}{R_{d} T} \left(\frac{1/M_{d}}{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v} }\right)$$ (A.10)

である. 但し $M$ は分子量を表し, 凝縮成分の体積は無視できるものと見なした. (A.9), (A.10) 式より,

$$\rho = \frac{p}{R_{d}T} \left( \frac{1/M_{d}}{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v} }\right) (1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r} )$$ (A.11)

となる.

$$f \equiv \left(\frac{1/M_{d}}{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v} }\right) (1 + \sum q_{v} + \sum q_{x} )$$

と定義すると, (A.11) 式は以下のように書ける.

$$\rho = \frac{p}{R_{d} (T/f)}$$ (A.12)

また, 温位とエクスナー関数を用いて表現すると,

$$\rho = \frac{p}{R_{d} \pi (\theta /f )}$$

$$= \frac{p_{0} \pi^{{c_{v}}_{d}/R_{d}}}{R_{d} (\theta/f)}$$ (A.13)

である. 但しエクスナー関数 $\pi$ は $\pi = T/\theta$ の関係を満たす.

温位は乾燥断熱状態における保存量である. 乾燥断熱状態を表す熱力学の式は

$$c_{p}dT - \alpha dp = 0$$ (A.14)

である. ここで $T$ は温度, $p$ は圧力, $c_{p}$ は単位質量当たりの比熱, $\alpha$ は比容である. (A.14) 式の $\alpha$ は, 理想気体の状態方程式を用いると,

$$\alpha = \frac{RT}{p}$$ (A.15)

と書ける. ここで $M$ は分子量, $R$ は気体定数である. (A.14) 式に (A.15) 式を代入し整理すると,

$$\frac{c_{p}}{T}dT - \frac{R}{p} dp = 0$$ (A.16)

となる. 凝縮を生じない場合には気塊の組成は変化しないので $c_{p}$ と $R$ は共に $p$ に依存しない. 一般に $c_{p}$ は $T$ の関数であるが, $c_{p}$ を定数とみなすと,

$$\int^{T_{0}}_{T} \Dinv{T}dT = \frac{R}{c_{p}} \int^{p_{0}}_{p} \Dinv{p} dp$$

$$\ln{(T_{0}/T)} = \frac{R}{c_{p}} \ln{(p_{0}/p)}$$

$$\theta = T \left(\frac{p_{0}}{p}\right)^\frac{R}{c_{p}}$$ (A.17)

となり, 温位が得られる.

A.1.2 温位 $\theta$, 圧力 $p$, 風速 $u, w$, 密度 $\rho$ で表現する場合

水平鉛直 2 次元大気の状態を 温位 $\theta$, 圧力 $p$, 風速 $u, w$, 密度 $\rho$ で表現する場合, 基礎方程式系は以下のようになる. CReSS(坪木と榊原, 2001)では, この基礎方程式を用いている.

運動方程式

 

$$\DD{u}{t} + \Dinv{\rho}\DP{p}{x} = Turb.u$$ (A.18)

$$\DD{w}{t} + \Dinv{\rho}\DP{p}{z} - g = Turb.w$$ (A.19)

圧力方程式

 

$$\DD{p}{t} = \rho {C_{s}}^{2} \left\{ - \Ddiv{\Dvect{u}} + \Dinv{\... ...\DP{f}{q_{c}} \DD{q_{c}}{t} + \sum \DP{f}{q_{r}} \DD{q_{r}}{t} \right) \right\}$$ (A.20)

密度の式(状態方程式)

 

$$\rho = \frac{p_{0}}{R_{d} \theta_{v}} \left( \frac{p}{p_{0}}\right)^{{c_{v}}_{d}/{c_{p}}_{d}}$$ (A.21)

熱の式

 

$$\DD{\theta}{t} = Q + Turb.\theta$$ (A.22)

凝縮成分の混合比の保存式

 

$$\DD{q_{v}}{t} = Src.q_{v} + Turb.q_{v}$$ (A.23)

$$\DD{q_{c}}{t} = Src.q_{c} + Turb.q_{c}$$ (A.24)

$$\DD{q_{r}}{t} = Src.q_{r} + Fall.q_{r} + Turb.q_{r}$$ (A.25)

ただし温位 $\theta$ は

$$\theta \equiv T \left(\frac{p_{0}}{p}\right)^{R_{d}/{c_{p}}_{d}}$$ (A.26)

であり, 仮温位 $\theta_{v}$ は,

$$\theta_{v} \equiv \frac{\theta}{f}$$ (A.27)

である. 音速 $C_{s}$ は

$${C_{s}}^{2} \equiv \frac{{c_{p}}_{d}}{{c_{v}}_{d}} R_{d} T_{v} = \frac{{c_{p}}_{d}}{{c_{v}}_{d}} R_{d} \frac{T}{f}$$ (A.28)

である. ${c_{p}}_{d}$ と ${c_{v}}_{d}$ はそれぞれ単位質量当たりの 乾燥成分の定圧比熱と定積比熱であり, ${c_{v}}_{d} + R_{d} = {c_{p}}_{d}$ という 関係にある.

圧力方程式は密度の式と連続の式を組み合わせることで得られる. まず密度を $\rho= \rho(\theta,p,q_{v},q_{x})$ として $\rho$ の全微分を求める.

$$d\rho = d \left[ \frac{p_{0}}{R_{d} \theta_{v}} \left( \frac{p}{p_{0}} \right)^{{c_{v}}_{d}/{c_{p}}_{d}} \right]$$

$$= d \left[ \frac{p_{0}}{R_{d} (\theta / f) } \left( \frac{p}{p_{0}} \right)^{{c_{v}}_{d}/{c_{p}}_{d}} \right]$$

$$= \frac{p_{0} }{R_{d} (\theta/f)} \frac{{c_{v}}_{d}}{{c_{p}}_{d}} \... ...t( \frac{p}{p_{0}} \right)^{{c_{v}}_{d}/{c_{p}}_{d}} \frac{d\theta}{\theta^{2}}$$

$$+ \frac{p_{0}}{R_{d} \theta} \left( \frac{p}{p_{0}} \right)^{{c_{... ...{q_{v}} dq_{v} + \sum \DP{f}{q_{c}} dq_{c} + \sum \DP{f}{q_{r}} dq_{r} \right\}$$

$$= \Dinv{{C_{s}}^{2}} dp - \frac{\rho}{\theta} d\theta + \sum \frac{... ... \frac{\rho}{f} \DP{f}{q_{c}} dq_{c} + \sum \frac{\rho}{f} \DP{f}{q_{r}} dq_{r}$$ (A.29)

となる. (A.29) 式を圧力の式として整理すると,

$$\DD{p}{t} = {C_{s}}^{2} \left( \DD{\rho}{t} + \frac{\rho}{\theta}... ...rho}{f} \DP{f}{q_{c}} dq_{c} - \sum \frac{\rho}{f} \DP{f}{q_{r}} dq_{r} \right)$$

であり, 連続の式を用いると,

$$\DD{p}{t} = \rho {C_{s}}^{2} \left( - \Ddiv \Dvect{u} + \Dinv{\th... ...\sum \Dinv{f} \DP{f}{q_{c}} dq_{c} - \sum \Dinv{f} \DP{f}{q_{r}} dq_{r} \right)$$

となり, 圧力方程式が得られる.

A.1.3 温位 $\theta$, 無次元圧力 $\pi$, 風速 $u, w$, 密度 $\rho$ で表現する場合

水平鉛直 2 次元大気の状態を 温位 $\theta$, 無次元圧力 $\pi$, 風速 $u, w$, 密度 $\rho$ で表現する場合, 基礎方程式系は以下のようになる. 連続の式 (A.3) と状態方程式 (A.21) を用いることで得られる圧力方程式を利用する. Klemp and Willhelmson (1978)では, この基礎方程式を用いている.

運動方程式

 

$$\DD{u}{t} + {{c_{p}}_{d}} \theta_{v} \DP{\pi}{x} = Turb.u$$ (A.30)

$$\DD{w}{t} + {{c_{p}}_{d}} \theta_{v} \DP{\pi}{z} - g = Turb.w$$ (A.31)

圧力方程式

 

$$\DD{\pi}{t} = \frac{{C_{s}}^{2}}{ {c_{p}}_{d} \rho \theta_{v} } \... ...\DP{f}{q_{c}} \DD{q_{c}}{t} + \sum \DP{f}{q_{r}} \DD{q_{r}}{t} \right) \right\}$$ (A.32)

状態方程式

 

$$\rho = \frac{p_{0} \pi^{{c_{v}}_{d}/R_{d}}}{R_{d} \theta_{v}}$$ (A.33)

熱の式

 

$$\DD{\theta}{t} = Q + Turb.\theta$$ (A.34)

水蒸気および水物質混合比の式

 

$$\DD{q_{v}}{t} = Src.q_{v} + Turb.q_{v}$$ (A.35)

$$\DD{q_{x}}{t} = Src.q_{c} + Turb.q_{c}$$ (A.36)

$$\DD{q_{x}}{t} = Src.q_{r} + Fall.q_{x} + Turb.q_{r}$$ (A.37)

ただし, エクスナー関数 $\pi$ は,

$$\pi \equiv \frac{T}{\theta} = \left( \frac{p}{p_{0}} \right)^{R_{d}/{c_{p}}_{d}}$$ (A.38)

であり, 音速 $C_{s}$ は

$${C_{s}}^{2} \equiv \frac{{c_{p}}_{d}}{{c_{v}}_{d}} R_{d} \pi \theta_{v} = \frac{{c_{p}}_{d}}{{c_{v}}_{d}} R_{d} \pi \left( \frac{\theta}{f} \right)$$ (A.39)

である.

運動方程式の圧力勾配は, 温位とエクスナー関数を用いることで得られる.

$$\Dinv{\rho} dp = \frac{R_{d} \pi (\theta/f)}{p} d \left( p_{0} \pi^{{c_{p}}_{d}/R_{d}} \right)$$

$$= \frac{R_{d} \pi (\theta/f) }{p} \left( \frac{p_{0} {c_{p}}_{d}}{R_{d}} \pi^{{c_{p}}_{d}/R - 1} \right) d\pi$$

$$= \frac{R_{d} \pi (\theta/f) }{p} \left( \frac{{c_{p}}_{d}}{R_{d}} p \pi^{-1} \right)d\pi$$

$$= {c_{p}}_{d} (\theta/f) d\pi$$

$$= {c_{p}}_{d} \theta_{v} d\pi$$ (A.40)

圧力方程式は密度の式と連続の式を組み合わせることで得られる. まず密度を $\rho= \rho(\theta, \pi, q_{v}, q_{x})$ として $\rho$ の全微分を計算する.

$$d\rho = d \left[ \frac{p_{0} \pi^{c_{v/R_{d}}}}{R_{d} \theta_{v}} \right]$$

$$= d \left[ \frac{p_{0} \pi^{c_{v/R_{d}}}}{R_{d} (\theta/f)} \right]$$

$$= \frac{p_{0}}{R_{d} (\theta/f) } \pi^{(c_{v/R_{d}}-1)} \frac{{c_{v... ..._{d}} d\pi - \frac{p_{0} \pi^{c_{v/R_{d}}} f}{R_{d}} \frac{d\theta}{\theta^{2}}$$

$$+ \frac{p_{0} \pi^{c_{v/R_{d}}} }{R_{d} \theta} \left( \sum \DP{f}{q_{v}} dq_{v} + \sum \DP{f}{q_{c}} dq_{c} + \sum \DP{f}{q_{r}} dq_{r} \right)$$

$$= {c_{p}}_{d} (\theta/f) \left( \frac{{c_{v}}_{d}}{{c_{p}}_{d} R_{d... ...d\pi - \frac{p_{0} \pi^{c_{v/R_{d}}} }{R_{d} (\theta/f)} \frac{d\theta}{\theta}$$

$$+ \Dinv{f} \left( \frac{p_{0} \pi^{c_{v/R_{d}}} }{R_{d} (\theta /... ...}{q_{v}} dq_{v} + \sum \DP{f}{q_{c}} dq_{c} + \sum \DP{f}{q_{r}} dq_{r} \right)$$

$$= \frac{ {c_{p}}_{d} \rho (\theta/f)}{{C_{s}}^{2} } d\pi - \frac{\r... ...}{q_{v}} dq_{v} + \sum \DP{f}{q_{c}} dq_{c} + \sum \DP{f}{q_{r}} dq_{r} \right)$$

$$= \frac{ {c_{p}}_{d} \rho \theta_{v}}{{C_{s}}^{2} } d\pi - \frac{\r... ...}{q_{v}} dq_{v} + \sum \DP{f}{q_{c}} dq_{c} + \sum \DP{f}{q_{r}} dq_{r} \right)$$ (A.41)

となる. (A.41) 式を圧力の式として整理すると,

$$\DD{\pi}{t} = \frac{{C_{s}}^{2} }{{c_{p}}_{d} \rho \theta_{v} } \... ...dq_{v} + \sum \DP{f}{q_{c}} dq_{c} + \sum \DP{f}{q_{r}} dq_{r} \right) \right\}$$ (A.42)

となり, 連続の式を用いると,

$$\DD{\pi}{t} = \frac{{C_{s}}^{2} }{{c_{p}}_{d} \rho \theta_{v} } \... ...dq_{v} + \sum \DP{f}{q_{c}} dq_{c} + \sum \DP{f}{q_{r}} dq_{r} \right) \right\}$$ (A.43)

となり, 圧力方程式が得られる.

A.2 線形化

準圧縮方程式系では, 変数を基本場と擾乱場に分離し, 線形化を行う.

A.2.1 基本場と擾乱場の分離

変数を基本場と擾乱場に分離し, 基本場は静水圧平衡にあると仮定する. この時, 変数は以下のように書ける.

$$u = u^{'}(x,z,t)$$

$$w = w^{'}(x,z,t)$$

$$\pi = \bar{\pi}(z) + \pi^{'}(x,z,t)$$

$$\theta_{v} = \bar{\theta_{v}}(z) + {\theta_{v}}^{'}(x,z,t)$$

$$\rho = \bar{\rho}(z) + \rho^{'}(x,z,t)$$

$$q_{v} = \bar{q_{v}}(z) + q_{v}^{'}(x,z,t)$$

$$q_{r} = q_{r}^{'}(x,z,t)$$

$$q_{c} = q_{c}^{'}(x,z,t)$$

但し, $\theta_{v} = \theta/f$ とし, 基本場の風速 $u, w$ と雲粒混合比と雨粒混合はゼロと見なした. そして基本場には静水圧平衡,

$$\DP{\bar{\pi}}{z} = - \frac{g}{{c_{p}}_{d} \bar{\theta_{v}}} = - \frac{g}{{c_{p}}_{d} (\bar{\theta}/\bar{f})}$$ (A.44)

の関係が成り立つものとする.

A.2.2 水平方向の運動方程式の線形化

水平方向の運動方程式を基本場と擾乱場に分離する.

$$\DP{u^{'}}{t} = - \left( u^{'} \DP{u^{'}}{x} + w^{'} \DP{u^{'}}{z... ..._{v}}^{'} \DP{\bar{\pi}}{x} + {\theta_{v}}^{'} \DP{\pi^{'}}{x} \right) + Turb.u$$

上式において移流項以外の 2 次の微小項を消去し, さらに基本場は $x$ 方向に は変化しないことを利用すると, 以下の擾乱成分の式が得られる.

$$\DP{u^{'}}{t} = - \left( u^{'} \DP{u^{'}}{x} + w^{'} \DP{u^{'}}{z} \right) - {c_{p}}_{d} \bar{\theta_{v}} \DP{\pi^{'}}{x} + Turb.u$$

$$= - \left( u^{'} \DP{u^{'}}{x} + w^{'} \DP{u^{'}}{z} \right) -{c_{p}}_{d} \left( \frac{\bar{\theta}}{\bar{f}}\right) \DP{\pi^{'}}{x} + Turb.u$$ (A.45)

ここで $\bar{f}$ は,

$$\bar{f} = {\left( 1 - \frac{\sum \bar{q_{v}}/M_{v}}{1/M_{d} + \sum \bar{q_{v}}/M_{v}} \right) (1 + \sum \bar{q_{v}} )}$$ (A.46)

である.

A.2.3 鉛直方向の運動方程式の線形化

鉛直方向の運動方程式を基本場と擾乱場に分離する.

$$\DP{w^{'}}{t} = - \left( u^{'} \DP{w^{'}}{x} + w^{'} \DP{w^{'}}{z... ...}^{'} \DP{\bar{\pi}}{z} + {\theta_{v}}^{'} \DP{\pi^{'}}{z} \right) - g + Turb.w$$

上式において移流項以外の 2 次の微小項を消去すると以下となる.

$$\DP{w^{'}}{t} = - \left( u^{'} \DP{w^{'}}{x} + w^{'} \DP{w^{'}}{z... ...v}} \DP{\pi^{'}}{z} + {\theta_{v}}^{'} \DP{\bar{\pi}}{z} \right) - g + Turb.w .$$

さらに静水圧の式を利用すると以下となる.

$$\DP{w^{'}}{t} = - \left( u^{'} \DP{w^{'}}{x} + w^{'} \DP{w^{'}}{z} \right) + {c_{... ...eta_{v}}^{'} \left( \frac{g}{{c_{p}}_{d} \bar{\theta_{v}}} \right) - g + Turb.w$$

$$= - \left( u^{'} \DP{w^{'}}{x} + w^{'} \DP{w^{'}}{z} \right) - {c_{... ...eta_{v}} \DP{\pi^{'}}{x} + \frac{{\theta_{v}}^{'}}{\bar{\theta_{v}}} g + Turb.w$$

ここで ${\theta_{v}}^{'}$ は,

$${\theta_{v}}^{'} = \Dinv{f} \left\{ \theta^{'} - \sum \frac{\theta}{f} \DP{f}{q_{v}}... ...DP{f}{q_{c}} q_{c}^{'} - \sum \frac{\theta}{f} \DP{f}{q_{r}} q_{r}^{'} \right\}$$

$$= \Dinv{f} \left\{ \frac{\theta^{'}}{\theta} - \sum \Dinv{f} \DP{f}... ...inv{f} \DP{f}{q_{c}} q_{c}^{'} - \sum \Dinv{f} \DP{f}{q_{r}} q_{r}^{'} \right\}$$ (A.47)

であり, (A.47) 式の第 2 項を計算すると,

$$\sum \Dinv{f}\DP{f}{q_{v}} = \Dinv{\frac{1/M_{d}}{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v}} (1 + \sum q_{v} ... ...{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v}} (1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r})}{q_{v}}$$

$$= \Dinv{\frac{1/M_{d}}{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v}} (1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r})}$$

$$\left[ \frac{1/M_{d}}{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v}} - \left\{ \frac... ...m q_{v}/M_{v})^{2}} (1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r}) \right\} \right]$$

$$= \Dinv{1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r}} - \frac{\sum 1/M_{v}}{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v}}$$

であり, (A.47) 式の第 3 項を計算すると,

$$\sum \Dinv{f}\DP{f}{q_{c}} = \Dinv{\frac{1/M_{d}}{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v}} (1 + \sum q_{v} ... ...{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v}} (1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r})}{q_{c}}$$

$$= \Dinv{1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r}}$$

であり, (A.47) 式の第 4 項を計算すると,

$$\sum \Dinv{f}\DP{f}{q_{r}} = \Dinv{\frac{1/M_{d}}{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v}} (1 + \sum q_{v} ... ...{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v}} (1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r})}{q_{r}}$$

$$= \Dinv{1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r}}$$

となるので,

$${\theta_{v}}^{'} = \Dinv{f} \left\{ \frac{\theta^{'}}{\theta} + \... ...q_{c}^{'} + \sum q_{r}^{'}} {1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r}} \right\}$$ (A.48)

である. ここで擾乱成分は平均成分に比べて十分に小さいので, 全量を平均成分に置き換えることで,

$${\theta_{v}}^{'} = \frac{\bar{\theta}}{\bar{f}} \left\{ \frac{\th... ...um q_{v}^{'} + \sum q_{c}^{'} + \sum q_{r}^{'}} {1 + \sum \bar{q_{v}}} \right\}$$ (A.49)

となる. これを用いると, 擾乱成分の速度 $w$ の式は以下のように書ける.

$$\DP{w^{'}}{t} = - \left( u^{'} \DP{w^{'}}{x} + w^{'} \DP{w^{'}}{z} \right) - {c_{p}}_{d} \bar{\theta_{v}} \DP{\pi^{'}}{x}$$

$$+ \left( \frac{\theta^{'}}{\bar{\theta}} + \frac{\sum q_{v}^{'}/M... ...'} + \sum q_{c}^{'} + \sum q_{r}^{'}} {1 + \sum \bar{q_{v}}} \right) g + Turb.w$$

A.2.4 圧力方程式の線形化

Klemp and Wilhelmson (1978) では, 非断熱的な加熱による熱膨張と 凝縮に伴う圧力変化を無視し,

$$\DD{\pi}{t} = - \frac{{C_{s}}^{2}}{ {c_{p}}_{d} (\theta/f)} \Ddiv \Dvect{u}$$

として定式化した. 本モデルで考える系では, 凝縮成分が十分に小さいので, この近似を用いることとした.

圧力方程式に関して, 平均成分と擾乱成分に分ける. ただし, 擾乱成分は平均成 分よりも十分小さいという仮定を用い, $1/\theta = 1/\bar{\theta}$, $1/f = 1/\bar{f}$ とする.

$$\DP{\bar{\pi} + \pi^{'}}{t} + u^{'} \DP{\bar{\pi}+\pi^{'}}{x} + w... ...verline{{C_{s}}^{2} }}{ {c_{p}}_{d} (\bar{\theta}/\bar{f})} \Ddiv \Dvect{u^{'}}$$

上式では ${C_{s}}^{2}$ を平均成分と擾乱成分に分離して 2 次の微小項を 無視すると, $\overline{{C_{s}}^{2}}$ と等しくなることを利用している.

$${C_{s}}^{2} = \frac{{c_{p}}_{d}}{{c_{v}}_{d}} R_{d} (\bar{\pi} + \pi^{'}) \left( \frac{(\bar{\theta} + \theta^{'})}{\bar{f}} \right)$$

$$\approx \frac{{c_{p}}_{d}}{{c_{v}}_{d}} R_{d} \left( \bar{\pi} \frac{\bar... ...{\pi} \frac{\theta^{'}}{\bar{f}} + \pi^{'} \frac{\bar{\theta}}{\bar{f}} \right)$$

$$= \frac{{c_{p}}_{d}}{{c_{v}}_{d}} R_{d} \bar{\pi} \frac{\bar{\theta... ...left( 1 + \frac{\theta^{'}}{\bar{\theta}} + \frac{ \pi^{'} }{\bar{\pi}} \right)$$

$$\approx \frac{{c_{p}}_{d}}{{c_{v}}_{d}} R_{d} \bar{\pi} \frac{\bar{\theta}}{\bar{f}} \equiv \overline{{C_{s}}^{2}}$$ (A.50)

ただし $\theta^{'}/\bar{\theta} \ll 1$, $\pi^{'}/\bar{\pi} \ll 1$ であることを用いた. 平均成分は $z$ にのみ依存することを利用し, また 2 次の微小項を無視する.

$$\DP{\pi^{'}}{t} = - w^{'} \DP{\bar{\pi}}{z} - \frac{\overline{{C_{s}}^{2}} }{ {c_{p}}_{d} (\bar{\theta} /\bar{f})} \Ddiv \Dvect{u^{'}}$$

さらに $\pi$ を理想気体の状態方程式で変形してまとめると, 圧力の擾乱成分の時間発展方程式が得られる.

$$\DP{\pi^{'}}{t} = - w^{'} \DP{}{z} \left( \frac{\bar{\rho} R_{d}(\bar{\theta}/\bar{... ...{p}}_{d} (\bar{\theta}/\bar{f})} \left( \DP{ u^{'}}{x} + \DP{ w^{'}}{z} \right)$$

$$= - w^{'} \frac{R_{d}}{{c_{v}}_{d}} \bar{\pi} \Dinv{\left( \frac{\b... ...c_{p}}_{d} (\bar{\theta}/\bar{f})} \left( \DP{u^{'}}{x} + \DP{w^{'}}{z} \right)$$

$$= - \frac{\overline{{C_{s}}^{2}}}{{c_{p}}_{d} \bar{\rho} (\bar{\the... ...o} (\bar{\theta}/\bar{f}) \left( \DP{u^{'}}{x} + \DP{w^{'}}{z} \right) \right\}$$

$$= - \frac{\overline{{C_{s}}^{2}}}{{c_{p}}_{d} \bar{\rho} (\bar{\the... ...f})^{2}} \Ddiv \left\{ \bar{\rho} (\bar{\theta}/\bar{f}) \Dvect{u^{'}} \right\}$$

以上より,

$$\DP{\pi^{'}}{t}= - \frac{\overline{{C_{s}}^{2}}}{{c_{p}}_{d} \bar... ...f})^{2}} \Ddiv \left\{ \bar{\rho} (\bar{\theta}/\bar{f}) \Dvect{u^{'}} \right\}$$ (A.51)

である.

A.2.5 熱の式の線形化

熱の式を平均成分と擾乱成分に分離する.

$$\DP{(\bar{\theta} + \theta^{'})}{t} = - u^{'}\DP{(\bar{\theta} + ... ...w^{'}\DP{(\bar{\theta} + \theta^{'})}{x} + Q + Turb.(\bar{\theta} + \theta^{'})$$

ここで平均場の量は $z$ の関数であることを用いると,

$$\DP{\theta^{'}}{t} = - \left( u^{'}\DP{\theta^{'}}{x} + w^{'}\DP{... ...} \right) - w^{'}\DP{\bar{\theta}}{x} + Q + Turb.\bar{\theta} + Turb.\theta^{'}$$ (A.52)

となる.

A.2.6 混合比の保存式の線形化

凝縮成分の混合比の保存式についても, 変数を平均成分と擾乱成分に分離する. 熱の式と同様に, 以下のように書ける. 但し, 生成項, 落下項は擾乱成分のみ 存在すると仮定する. この仮定は平均場では凝縮は生じていないと考えることに 等しい.

$$\DP{q_{v}^{'}}{t} = - \left( u^{'}\DP{q_{v}^{'}}{x} + w^{'}\DP{q_... ...- w^{'}\DP{\bar{q_{v}}}{x} + Src.q_{v}^{'} + Turb.\bar{q_{v}} + Turb.q_{v}^{'},$$ (A.53)

$$\DP{q_{c}^{'}}{t} = - \left( u^{'}\DP{q_{c}^{'}}{x} + w^{'}\DP{q_{c}^{'}}{x} \right) + Src.q_{c}^{'} + Turb.q_{c}^{'},$$ (A.54)

$$\DP{q_{r}^{'}}{t} = - \left( u^{'}\DP{q_{r}^{'}}{x} + w^{'}\DP{q_{r}^{'}}{x} \right) + Src.q_{r}^{'} + Fall.q_{r}^{'} + Turb.q_{r}^{'}$$ (A.55)

但し雲水量と雨水量は擾乱成分のみの量である.

A.3 まとめ

準圧縮方程式系は以下のようにまとめられる. ただし, 擾乱を示す $~^{'}$ は 除いた.

運動方程式

 

$$\DP{u}{t} = - \left( u \DP{u}{x} + w \DP{u}{z} \right) - {c_{p}}_{d} \bar{\theta_{v}} \DP{\pi}{x} + Turb.u$$ (A.56)

$$\DP{w}{t} = - \left( u \DP{w}{x} + w \DP{w}{z} \right) - {c_{p}}_{d} \bar{\theta_{v}} \DP{\pi}{x} + Turb.w$$

$$+ \left( \frac{\theta}{\bar{\theta}} + \frac{\sum q_{v}/M_{v}}{1/... ... - \frac{\sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r}} {1 + \sum \bar{q_{v}}} \right) g$$ (A.57)

圧力方程式

 

$$\DP{\pi}{t}= - \frac{\overline{{C_{s}}^{2}}}{{c_{p}}_{d} \bar{\rh... ...bar{f})^{2}} \Ddiv \left\{ \bar{\rho} (\bar{\theta}/\bar{f}) \Dvect{u} \right\}$$ (A.58)

熱の式

 

$$\DP{\theta}{t} = - \left( u\DP{\theta}{x} + w\DP{\theta}{x} \right) - w\DP{\bar{\theta}}{x} + Q + Turb.\bar{\theta} + Turb.\theta$$ (A.59)

凝縮成分の混合比の保存式

 

$$\DP{q_{v}}{t} = - \left( u\DP{q_{v}}{x} + w\DP{q_{v}}{x} \right) - w\DP{\bar{q_{v}}}{x} + Src.q_{v} + Turb.\bar{q_{v}} + Turb.q_{v},$$ (A.60)

$$\DP{q_{c}}{t} = - \left( u\DP{q_{c}}{x} + w\DP{q_{c}}{x} \right) + Src.q_{c} + Turb.q_{c},$$ (A.61)

$$\DP{q_{r}}{t} = - \left( u\DP{q_{r}}{x} + w\DP{q_{r}}{x} \right) + Src.q_{r} + Fall.q_{r} + Turb.q_{r}$$ (A.62)