1. 基礎方程式系

本数値モデルは水平・鉛直の 2 次元モデルである. 水平方向の座標変数を $x$, 鉛直方向の座標変数を $z$ と表し, 時間方向の変数は $t$ と表す.

1.1 運動方程式・圧力方程式・熱の式・混合比の保存式

力学的な枠組みは, 準圧縮方程式系(Klemp and Wilhelmson,1978)を用いる. この方程式系では, 予報変数を水平一様な基本場とそこからのずれに分離し, 方程式の線形化を行っている. 方程式中の変数は Appendix に示す.

以下に準圧縮方程式系の時間発展方程式を一覧する. 密度の式では乾燥成分と湿潤成分の分子量の差を考慮するが, 熱の式では考慮しない. また圧力方程式では非断熱加熱による大気の膨張と, 凝縮に伴う圧力変化を無視している.

運動方程式

$$\DP{u}{t} = - \left( u \DP{u}{x} + w \DP{u}{z} \right) - {c_{p}}_{d} \bar{\theta_{v}} \DP{\pi}{x} + Turb.u$$ (1.1)

$$\DP{w}{t} = - \left( u \DP{u}{x} + w \DP{u}{z} \right) - {c_{p}}_{d} \bar{\theta_{v}} \DP{\pi}{z} + Turb.w$$

$$+ \left( \frac{\theta}{\bar{\theta}} + \frac{\sum q_{v}/M_{v}}{1/... ... - \frac{\sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r}} {1 + \sum \bar{q_{v}}} \right) g$$ (1.2)

圧力方程式

$$\DP{\pi}{t} = - \frac{\overline{{C_{s}}^{2}}}{{c_{p}}_{d} \bar{\rho} \bar{\theta_{v}}^{2}} \DP{}{x_{j}}(\bar{\rho} \bar{\theta_{v}} u_{j})$$ (1.3)

熱の式

$$\DP{\theta}{t} = - \left( u \DP{\theta}{x} + w \DP{\theta}{z} \right) - w\DP{\bar{\theta}}{x} + \Dinv{\bar{\pi}} \left(Q_{cnd} + Q_{rad} + Q_{dis}\right)$$

$$+ Turb.\bar{\theta} + Turb.\theta$$ (1.4)

混合比の保存式

$$\DP{q_{v}}{t} = - \left( u \DP{q_{v}}{x} + w \DP{q_{v}}{z} \right) - w\DP{\bar{q_{v}}}{x} + Src.q_{v} + Turb.q_{v} + Turb.\bar{q_{v}},$$ (1.5)

$$\DP{q_{c}}{t} = - \left( u \DP{q_{c}}{x} + w \DP{q_{c}}{z} \right) + Src.q_{c} + Turb.q_{c}$$ (1.6)

$$\DP{q_{r}}{t} = - \left( u \DP{q_{c}}{x} + w \DP{q_{c}}{z} \right) + Src.q_{r} + Fall.q_{r} + Turb.q_{r}$$ (1.7)

ただし, $\bar{~}$ の付いた変数は水平一様な基本場であることを示し, 上付き添え字 $c$ は個々の凝縮成分を示す.

エクスナー関数 $\pi$

$$\pi \equiv \left(\frac{p}{p_{0}}\right)^{R_{d}/{c_{p}}_{d}}$$ (1.8)

温位 $\theta$

$$\theta \equiv T \left(\frac{p_{0}}{p}\right)^{R_{d}/{c_{p}}_{d}} = \frac{T}{\pi}$$ (1.9)

密度 $\rho$

$$\rho = \frac{p}{R_{d}T} \left( \frac{1/{M_{d}}} {1/M_{d} + \sum{{q_{v}}/{M_{v}}}} \right) \left( 1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r} \right)$$

$$= \frac{p}{R_{d}T_{v} } = \frac{p_{0} \pi^{{c_{v}}_{d}/R_{d}}}{R_{d} \theta_{v}}$$ (1.10)

仮温位 $\theta_{v}$

$$\theta_{v} = \frac{\theta}{ \left( \frac{1/M_{d}} {1/M_{d} + \sum... ...v}}/{M_{v}}}} \right) \left( 1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r} \right) }$$ (1.11)

音波速度 ${C_{s}}^{2}$

$${C_{s}}^{2} = \frac{{c_{p}}_{d}}{{c_{v}}_{d}} R_{d} \pi \theta_{v}$$ (1.12)

1.2 雲微物理過程のパラメタリゼーション

方程式系に含まれる凝縮による加熱項 $Q_{cnd}$, 生成項 $Src$, 落下項 $Fall$ の評価は, 中島(1998)で用いられた Kessler (1969) のパラメタリゼーションに従う.

暖かい雨のバルク法のパラメタリゼーションでは, 気相と凝縮相を以下の 3 つのカテゴリーに分ける.

記号	意味	内容
$q_{v}$	気相の混合比	気体の状態で大気中に存在する水
$q_{c}$	雲水混合比	落下速度がゼロな液体の粒子で, 実際の大気中の 雲粒に対応する.
		通常 100 $\mu$m 以下の微小な流体粒子である.
$q_{r}$	雨水混合比	有意な落下速度を持つ液体の粒子で, 実際の 大気中の雨粒に対応する.

そして, 微物理素過程として以下を考慮する. ただし, これらの量は全て正の値として定義され, 水蒸気が直接雨水に凝結する過程は無視されている.

記号	内容
$CN_{vc}$	凝結による水蒸気から雲水への変換 (condensation)
$EV_{cv}$	蒸発による雲水から水蒸気への変換 (evaporation)
$EV_{rv}$	蒸発による雨水から水蒸気への変換 (evaporation)
$CN_{cr}$	併合成長による雲水から雨水への変換.
	併合や水蒸気拡散により, 雲粒子が雨粒の大きさにまで成長する (autocondensation)
$CL_{cr}$	衝突併合による雲水から雨水への変換. 大水滴が小水滴を衝突併 合する (collection)
$PR_{r}$	雨水の重力落下に伴う雨水混合比の変化率 (Precipitation)

この微物理素過程を用いて (1.5) - (1.7) 式を書き直すと, 以下のようになる.

$$\DP{\theta}{t} = - \left( u \DP{\theta}{x} + w \DP{\theta}{z} \right) - w\DP{\bar{... ...x} + \frac{L}{{c_{p}}_{d} \bar{\pi}} \left( CN_{vc} - EV_{cv} - EV_{rv} \right)$$

$$+ \Dinv{\bar{\pi}} \left(Q_{rad} + Q_{dis}\right) + Turb.\bar{\theta} + Turb.\theta$$ (1.13)

$$\DP{q_{v}}{t} = - \left( u \DP{q_{v}}{x} + w \DP{q_{v}}{z} \right) - w\DP{\bar{q_{v}}}{x} - \left( CN_{vc} - EV_{cv} - EV_{rv} \right)$$

$$+ Turb.q_{v} + Turb.\bar{q_{v}},$$ (1.14)

$$\DP{q_{c}}{t} = - \left( u \DP{q_{c}}{x} + w \DP{q_{c}}{z} \right) + ( CN_{vc} - EV_{cv} - CN_{cr} - CL_{cr}) + Turb.q_{c},$$ (1.15)

$$\DP{q_{r}}{t} = - \left( u \DP{q_{c}}{x} + w \DP{q_{c}}{z} \right) + (CN_{cr} + CL_{cr} - EV_{rv} ) + PR_{r} + Turb.q_{r}$$ (1.16)

ここで, $\gamma = L_{v}/ ({c_{p}}_{d} \pi)$ であり, $L_{v}$ は水の蒸発の潜熱[J K$^{-1}$ kg$^{-1}$], ${c_{p}}_{d}$ は乾燥大気の定圧比熱[J K kg$^{-1}$], $\pi$ はエクスナー関数である.

微物理素過程は以下のように定式化する.

水蒸気と雲水の間の変換: $-CN_{vc} + EV_{cv}$

 
雲水は粒が小さく, 水蒸気との間で瞬間的に飽和調節が起こるもの とする. すなわち, 移流などの項を計算した後の温度と水蒸気量が 過飽和状態となっている場合には, ちょうど飽和になる量の水蒸気 を凝縮させる. 一方, 移流などの項を計算した後に, 雲水が存在す るにも拘わらず未飽和になっている場所では, ちょうど飽和になる 量の雲水を蒸発させる.

$$-CN_{vc} + EV_{cv} = \DD{q_{vsw}}{t}.$$ (1.17)

雲水の併合成長: $CN_{cr}$

 
Berry(1968)に従って以下で与える.

$$CN_{cr} = \frac{10^{6} \bar{\rho} q_{c}^{3}} {60 (2 q_{c} + 2.66 \times 10^{-8} N_{0}/ \bar{\rho} D_{0})}$$ (1.18)

$$\hspace{2em} N_{0} = 5.0 \times 10^{7}, \hspace{1em} D_{0} = 0.366$$

これを選択した理由は, 第一には Kessler (1969) のもともとの式 が閾値を含んでいるために生じる不自然さ(長時間積分で, 領域の 上部に雲水が溜まり, ついには全域が雲に覆われてしまう)を嫌っ たためである. 第二には, Berry(1969) の式がまがりなりにも, 海洋上の雲物理を扱えると主張しているからである.

雲水の衝突併合: $CL_{cr}$

 
Kessler (1969) に従って, 以下で定式化する.

$$CL_{cr} = 2.2 q_{c} (\bar{\rho} q_{r})^{0.875} .$$ (1.19)

雨水の蒸発: $EV_{rv}$

 

$$EV_{rv} = 4.85 \times 10^{-2} (q_{vsw} - q_{v}) (\bar{\rho} q_{r})^{0.65}$$ (1.20)

雨水のフラックス: $PR_{r}$

 
雨水の重力落下による混合比の変化率は,

$$PR_{r} = \Dinv{\bar{\rho}} \DP{}{z}(\bar{\rho} U_{r} q_{r}).$$ (1.21)

であり, 雨水の終端落下速度 $U_{r}$ [m s$^{-1}$] は

$$U_{r} = 12.2 (q_{r})^{0.125}$$ (1.22)

で与える.

1.3 簡略化した放射冷却

本モデルにおいて, 放射強制は高度のみに依存するパラメタとして与える. 温位の式の右辺に, 放射強制 $Q_{rad}$ を考慮する.

1.4 乱流混合のパラメタリゼーション

1.4.1 乱流運動エネルギーの式

Klemp and Wilhelmson (1978) および CReSS (坪木と榊原, 2001) と同様に, 1.5 次のクロージャーを用いることで, 乱流エネルギーの時間発展方程式は以 下ように書ける.

$$\DP{K_{m}}{t} = - \left( u \DP{K_{m}}{x} + w \DP{K_{m}}{z} \right) - \frac{3 g C_{m}^{2} l^{2}}{ 2 \overline{\theta_{v}}} \left(\DP{\theta_{el}}{z} \right)$$

$$+ \left( C_{m}^{2} l^{2} \right) \left\{ \left( \DP{u}{x} \right)^{2} + \left( \DP{w}{z} \right)^{2} \right\}$$

$$+ \frac{ C_{m}^{2} l^{2} }{2} \left( \DP{u}{z} + \DP{w}{x}\right)^{2} - \frac{K_{m}}{3} \left( \DP{u}{x} + \DP{w}{z} \right)$$

$$+ \Dinv{2} \left(\DP[2]{K_{m}^{2}}{x} + \DP[2]{K_{m}^{2}}{z} \right) + \left(\DP{K_{m}}{x}\right)^{2} + \left(\DP{K_{m}}{z}\right)^{2}$$

$$- \Dinv{2 l^{2}} K_{m}^{2}$$ (1.23)

ここで $C_{\varepsilon} = C_{m} = 0.2$, 混合距離 $l = \left(\Delta x \Delta z \right)^{1/2}$ とする. $\theta_{el}$ は以下のように定義する

$$\theta_{el} = \overline{ \theta_{v}} + \theta_{v}^{'} \;\;\; (for \;\; q_{c} = 0)$$ (1.24)

$$\theta_{el} = \overline{\theta_{v}} + \theta_{v}^{'} + \frac{ \sum L q_{v}}{{c_p}_{d} \bar{\pi}} \;\;\; (for \;\; q_{c} > 0)$$ (1.25)

ただし,

$$\overline{\theta_{v}} + \theta_{v}^{'} = \bar{\theta_{v}} \left\{ 1 + \frac{\theta}{\bar{\theta}} + \frac{... ...} - \frac{\sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r}} {1 + \sum \bar{q_{v}}} \right\}$$ (1.26)

である.

1.4.2 運動方程式中の拡散項

Klemp and Wilhelmson (1978) および CReSS (坪木と榊原, 2001) と同様に, 1.5 次のクロージャーを用いることで粘性拡散項は以下のように書ける.

$$Turb.{u_{i}} = - \DP{}{x_{j}} \overline{(u_{i}^{\prime} u_{j}^{\prime})}$$

$$= - \DP{}{x_{j}} \left[ - K_{m} \left(\DP{u_{i}}{x_{j}} + \DP{u_{j}}{x_{i}}\right) + \frac{2}{3} \delta_{ij} E \right].$$ (1.27)

ここで $K_{m}$ は運動量に対する乱流拡散係数であり, $E$ は サブグリッドスケールの乱流運動エネルギー

$$E = \frac{1}{2} \overline{(u^{\prime})^{2} + (w^{\prime})^{2}} = \frac{{K_{m}}^{2}}{C_{m} l^{2}}$$ (1.28)

である.

1.4.3 熱力学の式の拡散項

Klemp and Wilhelmson (1978) および CReSS (坪木と榊原, 2001) と同様に, 1.5 次のクロージャーを用いることで温位の粘性拡散項は以下のように書ける.

$$Turb.{\theta} = - \DP{}{x_{j}} \overline{u_{i}^{\prime} \theta}$$

$$= - \DP{}{x_{j}} \left(K_{h}\DP{\theta}{x_{j}}\right) .$$ (1.29)

ここで $K_{h}$ は温位に対する乱流拡散係数である.

1.4.4 散逸加熱項の表現

散逸加熱項 $Q_{dis}$ は, 乱流運動エ ネルギーの散逸項をもとに, 以下のように与える.

$$Q_{dis} = \frac{1}{\overline{c_{p}}}\frac{C_{\varepsilon}}{l} \frac{K_{m}^{3}}{(C_{m}l)^{3}}.$$ (1.30)

ここで $l=(\Delta x\Delta z)^{1/2}$ である.