Subsections
空間離散化された運動方程式空間離散化された x 方向運動方程式,
空間離散化された z 方向運動方程式と圧力方程式
空間離散化された圧力方程式を時間方向に離散化する.
音波に関連する項は短いタイムステップ 1#1 で離散化し, その他
の項は長いタイムステップ 4#4 で離散化する. 音波に関連する項の離
散化には HE-VI 法を採用し, 2#2 の式は前進差分, 3#3 の式は後退差分
(クランク・ニコルソン法)で離散化する. その他の項の離散化にはリープフロッ
グ法を用いる. 離散化した式の計算はまず 2#2 の式から行う. 得られた
95#95 の 2#2 を用いて 96#96 を計算し, 97#97 を用いて
98#98 を計算する.
運動方程式の各項のうち, 音波に関係しない項を 99#99 として
まとめると, 運動方程式と圧力方程式は以下のように書ける.
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100#100 |
(56) |
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101#101 |
(57) |
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102#102 |
(58) |
ただし 6#6 の式には音波減衰項 103#103 を加えてある
(Skamarock and Klemp, 1992).
音波に関連しない項 104#104 は,
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105#105 |
(59) |
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106#106 |
(60) |
であり, 時刻 107#107 で評価することにする.
但し, 中心差分でリープフロッグ法を用いるため, 数値粘性項 Diff を追加してある.
uwpi:uを時間方向に離散化すると以下のようになる.
HE-VI 法を用いるので, 98#98 と 96#96 の式を連立して解く. 98#98 の式におい
て音波減衰項は前進差分, 圧力項は後退差分で離散化する. 96#96 の式にお
いて水平微分項はuwpi:u_sabunで求めた
109#109
を用いて離散化し, 鉛直微分項は後退差分で離散化する.
ここでは簡単のため格子点位置を表す添字は省略した.
uwpi:pi_sabun 式に uwpi:w_sabun を代入して
113#113 を消去する.
| 114#114 |
115#115 |
116#116 |
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52#52 |
117#117 |
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118#118 |
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| 119#119 |
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(64) |
uwpi:sabun 式右辺を空間方向に離散化し,
格子点位置を表す添字を付けて表すと以下のようになる
(計算の詳細は appendix-a 参照).
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120#120 |
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121#121 |
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122#122 |
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123#123 |
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124#124 |
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125#125 |
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但し平均場の量は鉛直方向にしか依存しないので 11#11 方向の添字のみ
付けてある.
上下境界を固定壁とする場合, 境界条件は上部下部境界で,
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126#126 |
(65) |
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127#127 |
(66) |
である.
下部境界:
下部境界(128#128)について考える. この時 uwpi:w_sabun 式に
添字を付けて書き下すと,
| 129#129 |
52#52 |
130#130 |
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131#131 |
132#132 |
(67) |
となる. したがって uwpi:sabun_ik 式は以下のようになる.
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133#133 |
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52#52 |
134#134 |
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135#135 |
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136#136 |
(68) |
上部境界:
上部境界(137#137)について考える. この時 uwpi:w_sabun 式
を添字を付けて書き下すと,
| 138#138 |
52#52 |
139#139 |
|
| |
131#131 |
140#140 |
(69) |
となる. したがって uwpi:sabun_ik 式は以下のようになる.
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141#141 |
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142#142 |
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52#52 |
143#143 |
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144#144 |
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145#145 |
(70) |
uwpi:sabun_ik, uwpi:sabun_kabu,
uwpi:sabun_joubu 式を連立すると, 以下のような行列式の形式で書く
ことができる.
この連立方程式を解くことで 21#21 を求める. この連立方程式の係数は以下の
ように書ける.
| 148#148 |
52#52 |
149#149 |
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150#150 |
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| 151#151 |
52#52 |
152#152 |
|
| 153#153 |
52#52 |
154#154 |
|
| 155#155 |
52#52 |
156#156 |
|
| |
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157#157 |
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| 158#158 |
52#52 |
159#159 |
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160#160 |
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| 161#161 |
52#52 |
162#162 |
|
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|
150#150 |
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| 163#163 |
52#52 |
164#164 |
|
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|
165#165 |
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| 166#166 |
52#52 |
167#167 |
|
| |
|
168#168 |
|
ただし,
| 170#170 |
131#131 |
124#124 |
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|
171#171 |
|
である.
運動方程式の音波に関連しない項 uwpi:u, uwpi:w 式を
離散化する.
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172#172 |
(72) |
| |
|
173#173 |
(73) |
ここで, Adv は移流項, D は粘性拡散項, Buoy は浮力項,
Diff は数値粘性項である.
それぞれの項を書き下すと,
| 174#174 |
52#52 |
175#175 |
(74) |
| 176#176 |
52#52 |
177#177 |
(75) |
であり, 浮力項は,
| 178#178 |
52#52 |
179#179 |
|
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180#180 |
|
| |
|
181#181 |
(76) |
であり, 粘性拡散項は,
| 182#182 |
52#52 |
183#183 |
|
| |
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184#184 |
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| |
|
185#185 |
(77) |
| 186#186 |
52#52 |
187#187 |
|
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|
188#188 |
|
| |
|
189#189 |
(78) |
である. 数値粘性項は,
| 190#190 |
52#52 |
191#191 |
(79) |
| 192#192 |
52#52 |
193#193 |
(80) |
である. 194#194 は乱流エネルギーの時間発展方程式から計算し(詳細は後述),
195#195 は以下のように定める.
| 196#196 |
|
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(81) |
| 197#197 |
|
|
(82) |
ここで
198#198 は水平・鉛直方向の格子間隔を意味し,
199#199 はそれぞれ,
とする.
熱の式と混合比の保存式の右辺をまとめて 201#201 で表し,
時間方向にリープフロッグ法を用いて離散化する.
| 202#202 |
52#52 |
203#203 |
(84) |
| 204#204 |
52#52 |
205#205 |
(85) |
| 206#206 |
52#52 |
207#207 |
(86) |
| 208#208 |
52#52 |
209#209 |
(87) |
ここで,
| 210#210 |
52#52 |
211#211 |
|
| |
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212#212 |
(88) |
| 213#213 |
52#52 |
214#214 |
|
| |
|
215#215 |
(89) |
| 216#216 |
52#52 |
217#217 |
|
| |
|
218#218 |
(90) |
| 219#219 |
52#52 |
220#220 |
|
| |
|
221#221 |
(91) |
である. 移流を中心差分で安定して解くために, 数値粘性項 Diff を追加してあ
る. また,
222#222 項は湿潤飽和調節法より決めるため,
それらの項を含めない.
223#223, 224#224, 225#225, 226#226 をまとめて 5#5 で表し,
それぞれの項を書き下す. 移流項は,
| 227#227 |
52#52 |
228#228 |
(92) |
であり, 基本場の移流項は,
である. 粘性拡散項は CReSS と同様に 1.5 次のクロージャーを用いることで,
| 230#230 |
52#52 |
231#231 |
|
| |
|
232#232 |
(94) |
となり, 基本場の粘性拡散項は,
| 233#233 |
52#52 |
234#234 |
(95) |
となる. 数値粘性項は,
| 235#235 |
52#52 |
236#236 |
(96) |
である. 237#237 は乱流エネルギーの時間発展方程式から計算する(詳細は後述).
195#195 は nu 式を利用する.
凝縮加熱項 238#238 は
である.
散逸加熱項 240#240 は
と与える. ここで
242#242 である.
放射強制
243#243 は計算設定ごとに与える.
雲水から雨水への変換を表す 244#244, 245#245 は以下のようになる.
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246#246 |
(99) |
| |
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247#247 |
(100) |
雨水の蒸発を表す 248#248 は以下のようになる.
降水による雨水フラックスを表す 250#250 は以下のように書ける.
| |
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251#251 |
(102) |
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252#252 |
(103) |
Klemp and Wilhelmson (1983), CReSS ユーザーマニュアル(坪木と榊原, 2001)
では, 水蒸気と雲水の間の変換を表す
253#253 は,
Soong and Ogura (1973) において開発された
湿潤飽和調節法を用いる.
この方法は 254#254 の断熱線と,
255#255 の
平衡条件(256#256 は化学ポテンシャル)の交わる温度・圧力・組成を
反復的に求める数値解法である.
以下ではそのやり方を解説する.
湿潤飽和調節法を用いる場合,
まず始めに risan:time-div_theta - risan:time-div_qr
式から求まる量に 257#257 を添付し, 258#258,
259#259, 260#260, 261#261 とする.
水に対する過飽和混合比
が
263#263, もしくは雲粒混合比が 264#264 なら
ば, 次式を用いて暫定的に 223#223, 224#224, 225#225 を求める.
| 265#265 |
52#52 |
266#266 |
(105) |
| 267#267 |
52#52 |
268#268 |
(106) |
| 269#269 |
52#52 |
270#270 |
(107) |
ただし,
271#271 である.
もしも
272#272 ならば, 暫定的に得られた値を 257#257 付き
のものに置き換え, moistajst_theta1 - moistajst_qc1 式
の値が収束するまで繰り返し適用する. 普通, 高々数回繰り返せば収束し,
調整後の値が得られるそうである.
もしも
273#273 の場合には,
| |
|
274#274 |
(108) |
| |
|
275#275 |
(109) |
| |
|
276#276 |
(110) |
とし, 繰り返しを中止する.
硫化アンモニウムの生成反応
のような, 2 種類の気体 1 モルづつから凝縮物質 1 モルが
生成されるような生成反応の場合の, 湿潤飽和調節法を考える.
硫化アンモニウムの生成反応の圧平衡定数は,
である. 圧平衡定数を用いることで, 任意の温度に対する
アンモニアと硫化水素のモル比の積を求めることができる.
任意の温度 279#279 における NH280#280SH の生成量を 281#281 とすると,
圧平衡定数の式は以下のように書ける.
解の公式を使うと, 生成量 X は以下となる.
根号の符号は
286#286 の場合にとりうる 281#281 の値を
仮定することで決める.
286#286 の場合, 明らかに
である. ここで木星大気を想定し,
288#288
であることを仮定すると
289#289 である. そこで
def_X_NH4SHの根号の符号は
286#286 のとき
289#289 となるよう, 負を選択する.
281#281 の満たすべき条件は,
である. 上記の条件を満たさない場合には 292#292 とする.
281#281 が NH4SH-condition 式の条件を満たすならば,
次式を用いて暫定的に 223#223, 224#224, 225#225 を求める.
| |
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293#293 |
(118) |
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294#294 |
(119) |
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295#295 |
(120) |
| |
|
296#296 |
(121) |
ただし,
297#297 であり,
298#298 と
299#299 はそれぞれ,
生成量 281#281 に対応する NH300#300 と H301#301S の混合比である.
温位が収束するまで反復改良を行う.
Klemp and Wilhelmson (1978) および CReSS (坪木と榊原篤志, 2001) と同様
に, 1.5 次のクロージャーを用いる. 乱流エネルギーの時間発展方程式
をリープフロッグ法を用いて時間方向に離散化すると, 以下のようになる.
ここで,
| 303#303 |
52#52 |
304#304 |
|
| |
|
305#305 |
(123) |
である. CReSS にならい, 移流項を 107#107 で,
移流項以外を 306#306 で評価した.
307#307 に含まれる各項は以下のように書き下すことができる.
| 308#308 |
52#52 |
309#309 |
(124) |
| 310#310 |
52#52 |
311#311 |
(125) |
| 312#312 |
52#52 |
313#313 |
|
| |
|
314#314 |
|
| |
|
315#315 |
(126) |
| 316#316 |
52#52 |
317#317 |
|
| |
|
318#318 |
(127) |
| 319#319 |
52#52 |
320#320 |
(128) |
ここで
321#321,
混合距離
322#322 とする.
また 323#323 は以下で与えられる.
| 324#324 |
52#52 |
325#325 |
(129) |
| 324#324 |
52#52 |
326#326 |
(130) |
ただし,
| 327#327 |
52#52 |
328#328 |
(131) |
である.
リープフロッグ法を用いたことによって生じる計算モードの増幅を抑制するた
め, Asselin (1972) の時間フィルターを長い時間刻みで 1 ステップ計算する
毎に(実際には短い時間刻みの計算を
329#329 ステップ計算する毎に)適用する.
たとえばuwpi:u_sabunを用いて
330#330
を計算する場合, 以下のように時間フィルターを適用する.
| 331#331 |
52#52 |
332#332 |
|
| |
|
333#333 |
|
| 334#334 |
52#52 |
335#335 |
(132) |
ここで 336#336 はフィルターの係数であり, その値は 0.05 を用い
る. uwpi:w_sabun, uwpi:pi_sabunの計算に対しても同様
に時間フィルターを適用する.
境界面付近での波の反射を抑えるために, 基礎方程式の付加的な項を付け加える.
ただし, 5#5 は任意の予報変数であり, 338#338 は客観解析値等の既知の
値である. この項は1 つ前のタイムステップ 306#306 で計算され,
小さいタイムステップで扱われる予報変数に対しても,
移流項や数値粘性項と同様に 339#339 の大きなタイムステップ間の値とし
て評価される。具体的には,
| |
|
340#340 |
(134) |
| |
|
341#341 |
(135) |
| |
|
342#342 |
(136) |
| |
|
343#343 |
(137) |
とする. 但し 344#344 はエクスナー関数の基本場である.
345#345 はそれぞれ水平方向には各境界面に向かって, 鉛直
方向には上境界面に向かって小さくなる減衰係数である. これらの減衰係数は,
水平方向には吸収層の厚みを 346#346 とし, 7#7 の範囲を
347#347 とすれば,
| |
|
348#348 |
|
| |
|
349#349 |
|
| |
|
350#350 |
(138) |
であり, 鉛直方向には吸収層の厚さを 351#351 とし, 11#11 の範囲を
352#352 とすれば,
である. ここで,
355#355 はそれぞれ水平・鉛直方向の減衰定数
である.
355#355 は時間の逆数の次元を持ち, それらの逆数
356#356 は e-folding time と呼ばれる.
e-folding time は通常 100 - 300 s に設定する.
また吸収層の厚み 357#357 はそれぞれ, 水平方向には数格子分,
鉛直方向には上面から1/3 程度設定すれば良い.
Yamashita Tatsuya
2012-09-11
