2.2 断熱温度減率

Weidenschilling and Lewis (1973), Atreya and Romani (1985) に従って 湿潤断熱減率を定式化する. 熱力学の第 1 法則は,

$$dU = \delta Q + \delta W + \delta Z ,$$ (15)

である. ここで $dU$ は内部エネルギー， $\delta Q$ は系に加えられる熱量， $\delta W$ は系に加える仕事， $\delta Z$ は化学エネルギーである． 考えている系において気体は理想気体として取り扱うことができ， その変化は断熱的にであるとすると， (15) 式の各項は以下のように書ける．

$$dU = c_{v} dT.$$ (16)

$$\delta Q = 0.$$ (17)

$$\delta W = - p dV,$$

$$= - d(pV) + V dp,$$

$$= - R dT + V dp,$$

$$= - R dT + V \left( \frac{- M p g}{R T} \right) dz, \; (∵ 静水圧平衡の式)$$

$$= - R dT - M g dz .$$ (18)

$$\delta Z = - \lambda dX.$$ (19)

ここで $c_{v}$ は大気の定積モル比熱の平均値， $T$ は温度, $p$ は圧力, $V$ は 気体分子の 1 モル当たりの体積， $R$ は気体定数, $M$ は平均分子量, $g$ は重力加速度, $\lambda$ は大気中の凝縮成分のモル当たりの 凝縮のエンタルピー， $dX$ は凝縮成分のモル比の変化である. (15) 式に (16) - (19) 式を代入することで,

$$c_{v}dT + R dT + M g dz + \lambda dX = 0 ,$$

$$c_{p}dT + M g dz + \lambda dX = 0 ,$$ (20)

となる．但し $c_{p}$ は大気の定圧モル比熱の平均値で， 理想気体の場合 $c_{p} = c_{v} + R$ である．