2.2.2 湿潤断熱温度減率

$dX$ をモル分率と分圧の関数として表すと以下のようになる.

$$dX = \Dinv{p} de - \left( \frac{e}{p^{2}} \right) dp.$$ (29)

ただし $e$ は凝縮成分の飽和蒸気圧である. この式にクラウジウス・クラペイ ロンの式

$$de = \frac{e \lambda dT}{R T^{2}},$$ (30)

を代入して変形すると,

$$dX = \Dinv{p} de - \frac{e}{p^{2}} dp,$$

$$= \Dinv{p} \left( \frac{e \lambda dT}{R T^{2}} \right) - \frac{e}{p^{2}} \left( - \frac{ M p g}{R T} dz \right) ,$$

$$= \frac{e}{p} \frac{\lambda}{ R_{v} T^{2}} dT + \frac{e}{p} \frac{M g}{ R T} dz ,$$

$$= \frac{ \lambda X }{ R T^{2}} dT + \frac{M g X}{ R T} dz .$$ (31)

となる.

(20) 式に (31) 式を代入することで湿潤断熱温度減率が求まる．

$$c_{p}dT + M g dz + \lambda dX = 0 ,$$

$$c_{p} dT + M g dz + \lambda \left(\frac{\lambda X }{ R T^{2}} dT + \frac{M g X}{ R T} dz \right) = 0,$$

$$c_{p} \left( 1+ \frac{ \lambda^{2} X}{ c_{p} R T^{2}} \right) dT + M g \left( 1 + \frac{ \lambda X}{R T} \right) dz = 0,$$

$$\DD{T}{z} = - \frac{M g}{c_{p}} \left( \frac{ 1 + \frac{ \lambda X}{R T}} { 1 + \frac{ \lambda^{2} X}{ c_{p} R T^{2}} } \right).$$ (32)

平均分子量と平均比熱を (13), (14) 式を用い て表現すると, 湿潤断熱温度減率は以下のように変形できる.

$$\DD{T}{z} = - \frac{M_{d} g}{{c_{p}}_{d}} \left\{ \frac{ 1 + \fra... ...\frac{ \lambda X}{R T}} { 1 + \frac{ \lambda^{2} X}{ c_{p} R T^{2}} } \right) .$$ (33)

さらに (32), (33) を変形することで 温度の圧力微分は以下のように書ける.

$$\DD{T}{p} = \frac{R T}{c_{p} p} \left( \frac{ 1 + \frac{ \lambda X}{R T}} { 1 + \frac{ \lambda^{2} X}{ c_{p} R T^{2}} } \right),$$ (34)

$$\DD{T}{p} = \frac{R T}{{c_{p}}_{d} p} \left\{ \Dinv{ 1 + \frac{( ... ... \frac{ \lambda X}{R T}} { 1 + \frac{ \lambda^{2} X}{ c_{p} R T^{2}} } \right).$$ (35)

さらに従来の研究で用いられた凝縮成分が少ないとする近似式を求め, さらに凝縮成分が多いとする近似式も併せて導出する. その導出は以下の 通りである.

凝縮成分が少ない近似

 
(32) 式において十分に凝縮性成分の少ない場合, つまり

$$M \approx M_{d}, \;\;\; c_{p} \approx {c_{p}}_{d}, \;\;\; \frac{ \lambda X }{R T } \ll 1, \;\;\; \frac{ \lambda^{2} X }{ c_{p} R T^{2} } \ll 1,$$ (36)

を考える. その場合には,

$$\DD{T}{z} \approx - \frac{M_{d} g}{{c_{p}}_{d}} \left( 1 + \frac{ \lambda X}{R T} \right) \left( 1 - \frac{ \lambda^{2} X}{ {c_{p}}_{d} R T^{2}} \right) ,$$

$$\approx - \frac{M_{d} g}{{c_{p}}_{d}} \left\{ 1 - \frac{\lambda X}{ {c_{p}}_{d} T} \left( \frac{ \lambda}{ R T} - \frac{{c_{p}}_{d}}{R} \right) \right\},$$ (37)

と近似することができる. 但し $X$ に関する 2 次の微少量は十分に小さいものとして無視した.

凝縮成分が多い近似

 
(32) において十分に凝縮性成分の多い場合, すなわち

$$M \approx M_{v}, \;\;\; c_{p} \approx {c_{p}}_{v}, \;\;\; \frac{ \lambda X }{R T } \gg 1, \;\;\; \frac{ \lambda^{2} X }{ c_{p} R T^{2} } \gg 1,$$ (38)

の場合には,

$$\DD{T}{z} \approx - \frac{M_{v} g}{{c_{p}}_{v}} \frac{\frac{ \lambda X}{R T}} {\frac{ \lambda^{2} X}{ {c_{p}}_{v} R T^{2}} } ,$$

$$= - \frac{M_{v} g T}{\lambda}$$ (39)

と近似することができる.