2.3 静的安定度

静的安定度の式 (10) に (13) 式を代入することで得られた式,

$\displaystyle N^{2} = \frac{g}{T} \left( \DD{T}{z} + \frac{M g}{c_{p}} \right) - \frac{ g (M_{v} - M_{d})}{M} \DD{X}{z},$

にクラウジウス・クラペイロンの式 (31) を

$\displaystyle \DD{X}{z} = \frac{ \lambda X }{ R T^{2}} \DD{T}{z} + \frac{M g X}{ R T}$

のように変形して代入すると,

$\displaystyle N^{2}$	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{g}{T} \left( \DD{T}{z} + \frac{M g}{c_{p}} \right) - \frac{... ...{M} \left( \frac{ \lambda X }{ R T^{2}} \DD{T}{z} + \frac{M g X}{ R T} \right),$
	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{g}{T} \left[ \frac{M g}{c_{p}} + \DD{T}{z} \left\{ 1 - \fra... ... T} \right\} \right] - \frac{g}{T} \frac{ (M_{v} - M_{d})}{M} \frac{M g X}{ R }$	(40)

となる. 平均分子量と平均比熱を (13), (14) 式を用いて表現すると, 静的安定度は以下のように変形できる.

$\displaystyle N^{2}$	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{g}{T} \left[ \frac{M_{d} g}{{c_{p}}_{d}} \left\{ \frac{ 1 +... ...}} {M_{d} \left\{ 1 + \frac{(M_{v} - M_{d})X}{M_{d}} \right\}} \right\} \right]$
		$\displaystyle - \frac{g}{T} \frac{ (M_{v} - M_{d}) g X}{ R }.$	(41)

さらに凝縮成分が少ないとする近似式と凝縮成分が多いとする近似式も併せて導出する. その導出は以下の通りである.

凝縮成分が少ない近似

(40) 式に (26), (36), (37) 式を代入する. その結果, 凝縮成分が少ない場合の静的安定度の近似式が得られる.

$\displaystyle N^{2}$	$\textstyle \approx$	$\displaystyle \frac{g}{T} \left[ \frac{M_{d} g}{{c_{p}}_{d}} - \frac{M_{d} g}{{... ...\{ 1 - \frac{ (M_{v} - M_{d})}{M_{d}} \frac{ \lambda X }{ R T} \right\} \right]$
		$\displaystyle - \frac{g}{T} \frac{ (M_{v} - M_{d})}{M_{d}} \frac{M_{d} g X}{ R }$
	$\textstyle \approx$	$\displaystyle \frac{M_{d} g^{2}}{{c_{p}}_{d} T} \left\{ \frac{\lambda X}{{c_{p}... ...g^{2}}{{c_{p}}_{d} T} \frac{ (M_{v} - M_{d})}{M_{d}} \frac{ {c_{p}}_{d} X}{ R }$
	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{M_{d} g^{2}}{{c_{p}}_{d} T} \left( \frac{ \lambda}{ R T} - ... ...{M_{d}} \left( 1 - \frac{\lambda^{2} X}{{c_{p}}_{d} R T^{2}} \right) \right\} X$
	$\textstyle \approx$	$\displaystyle \frac{M_{d} g^{2}}{{c_{p}}_{d} T} \left( \frac{ \lambda}{ R T} - ... ...left( \frac{\lambda}{{c_{p}}_{d} T} + \frac{ (M_{v} - M_{d})}{M_{d}} \right) X.$	(42)

凝縮成分が多い近似

(40) 式に (28), (38), (39) 式を代入する. その結果, 凝縮成分が多い場合の静的安定度の近似式が得られる.

$\displaystyle N^{2}$	$\textstyle \approx$	$\displaystyle \frac{g}{T} \left[ \frac{M_{v} g}{{c_{p}}_{v}} - \frac{M_{v} g T}... ...}{ R T} \right\} - \frac{ (M_{v} - M_{v})}{M_{v}} \frac{M_{v} g X}{ R } \right]$
	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{g}{T} \left[ \frac{M_{v} g}{{c_{p}}_{v}} \left( 1 - \frac{{... ...lambda X }{ R T} - \frac{ (M_{v} - M_{d})}{M_{v}} \frac{M_{v} g X}{ R } \right]$
	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{M_{v} g^{2}}{{c_{p}}_{v} T} \left( 1 - \frac{{c_{p}}_{v} T}{\lambda} \right)$	(43)

SUGIYAMA Ko-ichiro 平成17年8月21日