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β面近似

緯度 $\theta_0$, 経度 $\lambda_0$ を原点として, その接平面上において東向 きを x, 北向きを y, 上向きを z とする局所デカルト座標に方程式系を 座標変換することを考える. 水平方向の微分は

\begin{displaymath}\frac{1}{r\cos\theta}\DP{}{\lambda} = \DP{}{x}, \hskip10mm
\frac{1}{r}\DP{}{\theta} = \DP{}{y}
\end{displaymath}

と変換される. また質量保存式の $\partial (v\cos\theta) /
(r\cos\theta\partial\theta)$ について考えると, $\cos\theta =
\cos\theta_0 - \sin\theta_0 (\theta-\theta_0) + \cdots$ であるから,

\begin{displaymath}\begin{array}{rcl}
\Ddsty{ \frac{1}{r\cos\theta}\DP{v\cos\th...
...{\theta} } \\
& \rightarrow & \Ddsty {\DP{v}{y} }
\end{array}\end{displaymath}

他のメトリック項も同様に座標変換すると, 結局次を得る.

 \begin{displaymath}
\DD{\Dvect{u}}{t}
+ \Dvect{f}\times\Dvect{u}
= -\frac{\Dgrad{p}}{\rho} + \Dgrad\Phi + \Dvect{F}
\end{displaymath} (5)

ただし $\Dvect{f}=(0, \cot\theta_0(f_0 - \beta_0 y \tan^2\theta_0), f_0
+ \beta_0 y) \equiv (0, f', f)$ である. d/dt は次のように変換される.

\begin{displaymath}\DD{}{t} = \DP{}{t}
+ u\DP{}{x}
+ v\DP{}{y}
+ w\DP{}{z}
\end{displaymath}

また $\Dvect{F}=(F_x, F_y, F_z)$

\begin{displaymath}\begin{array}{rcl}
F_x & = & \Ddsty{ A_M \left(\DP[2]{u}{x} ...
...]{w}{x} + \DP[2]{w}{y}\right)
+ A_V \DP[2]{w}{z} }
\end{array}\end{displaymath}



Takashi Kagimoto
1998-09-03