4.2 中島 (1998)

中島 (1998) は湿潤断熱温度減率と静的安定度を以下のように与えた. ただし物理量を示す文字を変えてある.

$$\DD{T}{z} = - \frac{g}{{c_{p}^{\dagger}}_{d}} \left( \frac{ 1 + \frac{\lambda... ...lambda^{\dagger}}^{2} q}{R_{v}^{\dagger} {c_{p}^{\dagger}}_{d} T^{2}} } \right)$$ (63)

$$= - \frac{g}{{c_{p}^{\dagger}}_{d}} \left\{ 1 - \left( \frac{\lambd... ...\right) \frac{\lambda^{\dagger} q^{\dagger}}{{c_{p}^{\dagger}}_{d} T} \right\}.$$ (64)

$$N^{2} = \frac{g}{T} \left( \DD{T}{z} + \frac{g}{{c_{p}^{\dagger}}_{d}} \right) + g \left(\frac{M_{d}}{M_{v}} - 1 \right) \DP{ (rq)}{z},$$ (65)

$$\approx \frac{g^{2}}{{c_{p}^{\dagger}}_{d} T} \left( \frac{\lambda^{\dagg... ...r}}{{c_{p}^{\dagger}}_{d} T} + \left(1 - \frac{M_{d}}{M_{v}} \right) \right\} q$$ (66)

ただし添字 $\dagger$ の付いた量は単位質量当たりの量で, $R_{d}^{\dagger} = R/M_{d}$ は乾燥成分の単位質量当たりの気体定数, $R_{v}^{\dagger} = R/M_{v}$ は可凝縮成分 の単位質量当たりの気体定数, ${c_{p}^{\dagger}}_{d}=c_{p}/M_{d}$ は単位質量当た りの乾燥成分の比熱, $\lambda^{\dagger}=\lambda/M_{v}$ は単位質量当たりの潜熱 である. $q$ は上昇流域での可凝縮成分の混合比であり, 気塊の周囲の大 気の混合比を湿度 $r$ を用いて $r q$ とした.

以下では, 前節で求めた湿潤断熱温度減率と静的安定度が, それぞれ (63), (65) 式で表現されることを示す. また () と (65) 式を変形することで (64) と (66) 式がそれぞれ導かれることを示す.

(63) 式は (60) 式において, $M \approx M_{d}, R^{\dagger}_{v} = R^{\dagger} / \varepsilon$ とすることで直ちに求ま る. さらに凝縮成分の少ないとする条件が成立する場合には $1 \gg \frac{{\lambda^{\dagger}}^{2} q}{R_{v}^{\dagger} {c_{p}^{\dagger}}_{d} T^{2}}$ となるので, (64) 式は以下のように導出される.

$$\DD{T}{z} = - \frac{g}{{c_{p}^{\dagger}}_{d}} \left( \frac{ 1 + \frac{\lambda... ...mbda^{\dagger}}^{2} q}{R_{v}^{\dagger} {c_{p}^{\dagger}}_{d} T^{2}} } \right) ,$$

$$\approx - \frac{g}{{c_{p}^{\dagger}}_{d}} \left( 1 + \frac{\lambda^{\dagg... ...\lambda^{\dagger}}^{2} q}{R_{v}^{\dagger} {c_{p}^{\dagger}}_{d} T^{2}} \right),$$

$$= - \frac{g}{{c_{p}^{\dagger}}_{d}} \left\{ 1 - \left( \frac{\lambd... ...\right) \frac{\lambda^{\dagger} q^{\dagger}}{{c_{p}^{\dagger}}_{d} T} \right\}.$$

ただし $q$ の 2 次の項は無視した. ちなみに木星の温度条件の場合, この近似が成立する条件はおおよそ $q \ll 2.0 \times 10^{-2}$ である.

静的安定度の式 (65) は, 静的安定度の式 (55) において, 単位モル当たりの 量を単位質量当たりの量に変換し, 凝縮成分の少ない条件下でのモル比と混合比の関係式 (61) および分子量の関係 (62) を用いることで求まる.

$$N^{2} = \frac{g}{T} \left( \Gamma_{m} + \frac{M g}{{c_{p}^{\dagger}}_{d} M} \right) - g \left( \frac{r (M_{v} - M_{d})}{M} \DD{X}{z} \right)$$

$$= \frac{g}{T} \left( \Gamma_{m} + \frac{ g}{{c_{p}^{\dagger}}_{d}} ... ... g \left( \frac{r (M_{v} - M_{d})}{M_{d}} \frac{M_{d}}{M_{v}} \DD{q}{z} \right)$$

$$= \frac{g}{T} \left( \Gamma_{m} + \frac{ g}{{c_{p}^{\dagger}}_{d}} \right) + g \left( \frac{M_{d}}{M_{v}} - 1 \right) \DD{(r q)}{z}$$

ただし $dT/dz = \Gamma_{m}$ とした. さらに (65) 式の変形を 行う. (31) 式を $dq/dz$ の式に書き換えると,

$$\DD{ ( r q )}{z} = \left( \frac{ \lambda^{\dagger} M_{v} }{ R^{\dagger}_{d} M_{d} T^{2}} \DD{T}{z} + \frac{M g }{ R^{\dagger}_{d} M T} \right) (r q) ,$$

$$= \left( - \frac{ \lambda^{\dagger} }{ R^{\dagger}_{v} T^{2}} \frac{g}{{c_{p}^{\dagger}}_{d}} + \frac{g }{ R^{\dagger}_{d} T} \right) (r q) ,$$

$$= \frac{g}{{c_{p}^{\dagger}}_{d} T} \left( \frac{ {c_{p}^{\dagger}}... ...\dagger}_{d} } - \frac{ \lambda^{\dagger} }{ R^{\dagger}_{v} T} \right) (r q) .$$ (67)

となる. ただし $q$ は小さいので, $dT/dz \approx - g /{c_{p}^{\dagger}}_{d}$ とした. (67) 式と (64) 式を (65) 式に 代入することで, (66) 式が得られる.

$$N^{2} = \frac{g}{T} \left( \Gamma_{m} + \frac{ g}{{c_{p}^{\dagger}}_{d}} \right) + g \left( \frac{M_{d}}{M_{v}} - 1 \right) \DD{(r q)}{z}$$

$$= \frac{g}{T} \left[ \frac{g}{{c_{p}^{\dagger}}_{d}} \left\{ \left(... ...{d} } - \frac{ \lambda^{\dagger} }{ R^{\dagger}_{v} T} \right) (r q) \right\} ,$$

$$= \frac{g^{2}}{{c_{p}^{\dagger}}_{d} T} \left( \frac{\lambda^{\dagg... ...{c_{p}^{\dagger}}_{d} T} + r \left( 1 - \frac{M_{d}}{M_{v}} \right) \right\} q.$$