4.1 Achterberg and Ingersoll (1989)

Achterberg and Ingersoll (1989) は静的安定度, 仮温度, 湿潤擬断熱温度減率 を以下のように与えた ².

$$N^{2} = \frac{g}{T_{v}} \left( \DD{T_{v}}{z} + \frac{g}{{c_{p}^{\dagger}}_{d}} \right),$$ (58)

$$T_{v} = \frac{T }{1 + (\varepsilon - 1) e /p },$$ (59)

$$\DD{T}{z} = - \frac{g}{c_{p}^{\dagger}} \left( \frac{ 1 + \frac{\... ...mbda^{\dagger}}^{2} \varepsilon q}{R^{\dagger} c_{p}^{\dagger} T^{2}} } \right)$$ (60)

ただし添字 $\dagger$ の付いた量は単位質量当たりの量で, $R^{\dagger} = R/M$ は大気の単位質量当たりの気体定数, $c_{p}^{\dagger} = c_{p}/M$ は大 気の単位質量当たりの比熱, ${c_{p}^{\dagger}}_{d}=c_{p}/M_{d}$ は単位質量 当たりの乾燥成分の比熱, $\lambda^{\dagger}=\lambda/M_{v}$ は単位質量当た りの潜熱である. $\varepsilon = M_{v}/M_{d}$ は可凝縮成分の分子量と乾燥 成分の分子量との比, $e$ は可凝縮成分の飽和蒸気圧, $q$ は可凝縮成分の混合 比である.

以下では, 前節で求めた静的安定度, 仮温 度, 湿潤断熱減率が, それぞれ (58) - (60) 式で 表現できることを示す. ただし彼らの計算では $r = 1$ を仮定している.

初めに静的安定度の式 (58) は, () 式中の単位モル当たり の量を単位質量当たりに変換することで求めることができる.

$$N^{2} = \frac{g}{T_{v}} \left( \DD{T_{v}}{z} + \frac{M_{d} g}{{c_{p}}_{d}} \right)$$

$$= \frac{g}{T_{v}} \left( \DD{T_{v}}{z} + \frac{g}{{c_{p}^{\dagger}}_{d}} \right)$$

次に仮温度の式 (59) は, 仮温度の定義式を変形することで導かれる.

$$T_{v} = T \frac{M_{d}}{M} ,$$

$$= T \frac{M_{d}}{M_d (1 - X) + M_{v} X} ,$$

$$= T \frac{M_{d}}{M_d (p - e)/p + M_{v} e/p } ,$$

$$= T \frac{M_{d} p}{M_d p + (M_{v} - M_{d}) e } ,$$

$$= T \frac{1}{1 + (M_{v} - M_{d})/M_{d} e/p } ,$$

$$= \frac{T}{1 + (\varepsilon - 1) e/p }.$$

最後に (32) に可凝縮物質が少ないという条件を与えることで (60) が得られることを示す. 凝結成分が少ない場合,

$$q = \frac{M_{v} X}{M_{d} (1 - X) + M_{v} X} \approx \frac{M_{v}}{M_{d}} X.$$ (61)

$$M \approx M_{d}$$ (62)

となるので, この関係を用いて (32) 式を変形し, また (32) 式中の単位モル当たりの量を単位質量当たりの量に変換すると,

$$\DD{T}{z} = - \frac{M g}{c_{p}} \left( \frac{ 1 + \frac{ \lambda X}{R T}} { 1 + \frac{ \lambda^{2} X}{ c_{p} R T^{2}} } \right),$$

$$= - \frac{M g}{( M c_{p}^{\dagger} ) } \left( { 1 + \frac{ (M_{v} \... ...M_{d} / M_{v})} { (M_{d} c_{p}^{\dagger}) (M_{d} R^{\dagger}) T^{2}} } \right),$$

$$= - \frac{g}{c_{p}^{\dagger}} \left( \frac{ 1 + \frac{\lambda^{\dag... ...da^{\dagger}}^{2} \varepsilon q}{R^{\dagger} c_{p}^{\dagger} T^{2}} } \right) .$$

... を以下のように与えた²

Achterberg and Ingersoll (1989) の式には誤植がある.